Номер 111, страница 41 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

8. Графики и свойства некоторых видов функций. Параграф 3. Функции и их свойства. Глава 2. Функции и графики - номер 111, страница 41.

Условие.

111. Изобразите схематически графики функций у = kx, где k ‹ 0, и у = kx, где k › 0. Запишите свойства функции в каждом случае.

Решение 1.

Решение 8.

Функция $y=kx$ является прямой пропорциональностью. Её график — это прямая линия, проходящая через начало координат $(0;0)$. Свойства функции и вид графика зависят от знака коэффициента $k$, который также называют угловым коэффициентом.

y = kx, где k < 0

Если угловой коэффициент $k$ отрицателен ($k<0$), то функция является убывающей. График функции образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс (оси $Ox$) и расположен во второй и четвертой координатных четвертях.

Схематический график для случая $k < 0$:

Основные свойства функции $y=kx$ при $k<0$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: функция является нечетной, так как $y(-x) = k(-x) = -kx = -y(x)$. Её график симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x < 0$; $y < 0$ при $x > 0$.
• Монотонность: функция является убывающей на всей области определения.

Ответ: При $k<0$ график функции $y=kx$ — это прямая, проходящая через начало координат и расположенная во II и IV координатных четвертях. Функция является нечетной и убывающей на всей области определения. $y>0$ при $x \in (-\infty; 0)$ и $y<0$ при $x \in (0; +\infty)$.

---

y = kx, где k > 0

Если угловой коэффициент $k$ положителен ($k>0$), то функция является возрастающей. График функции образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс (оси $Ox$) и расположен в первой и третьей координатных четвертях.

Схематический график для случая $k > 0$:

Основные свойства функции $y=kx$ при $k>0$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: функция является нечетной, так как $y(-x) = k(-x) = -kx = -y(x)$. Её график симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x > 0$; $y < 0$ при $x < 0$.
• Монотонность: функция является возрастающей на всей области определения.

Ответ: При $k>0$ график функции $y=kx$ — это прямая, проходящая через начало координат и расположенная в I и III координатных четвертях. Функция является нечетной и возрастающей на всей области определения. $y>0$ при $x \in (0; +\infty)$ и $y<0$ при $x \in (-\infty; 0)$.