Номер 103, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Свойства чётности и нечётности функций. Параграф 3. Функции и их свойства. Глава 2. Функции и графики - номер 103, страница 36.

Условие.

103. Докажите, что функция, заданная формулой у = f (x), является чётной, если:

Решение 1.

Решение 8.

Для того чтобы доказать, что функция является чётной, необходимо показать, что для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Также область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат.

а) Дана функция $f(x) = 6 - 5x^2 + x^4$.

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, которое симметрично относительно нуля.

Теперь найдем значение функции от $-x$:
$f(-x) = 6 - 5(-x)^2 + (-x)^4$

Используем свойства степеней: $(-x)^{2n} = x^{2n}$ для любого целого $n$.
$f(-x) = 6 - 5x^2 + x^4$

Сравнивая полученное выражение с исходным, видим, что $f(-x) = f(x)$.
Так как оба условия выполняются, функция является чётной.

Ответ: Доказано, что функция является чётной.

б) Дана функция $f(x) = 5|x|$.

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, которое симметрично относительно нуля.

Найдем значение функции от $-x$:
$f(-x) = 5|-x|$

Используем свойство модуля: $|-a| = |a|$.
$f(-x) = 5|x|$

Сравнивая полученное выражение с исходным, видим, что $f(-x) = f(x)$.
Так как оба условия выполняются, функция является чётной.

Ответ: Доказано, что функция является чётной.