Номер 97, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 1. Параграф 2. Приложения математики в реальной жизни. Глава 1. Числа и вычисления - номер 97, страница 31.

Условие.

97. Евгения Владимировна хочет купить двухкомнатную квартиру в новом шестиэтажном доме. В доме 4 подъезда и 120 квартир. В каждом подъезде и на каждом этаже одинаковое количество квартир. В агентстве ей дали план придомовой территории (рис. 8). Сторона каждой клетки на плане 5 м.

У Евгении Владимировны двое маленьких детей, поэтому, прочитав описание, она сразу обратила внимание на обнесённый забором детский сад рядом с домом, а также на спортивную площадку, расположенную справа от детского сада и обозначенную на плане цифрой 1. Цифрой 4 на плане обозначен участок прямоугольной формы шириной 20 м под парковку для автомобилей.

1) Какой объект на плане обозначен цифрой 2 и какой — цифрой 3?

2) Какова площадь территории детского сада?

3) Евгении Владимировне предложили к просмотру квартиру 73. В каком подъезде и на каком этаже расположена эта квартира?

4) Минимальный размер машино-места для легкового автомобиля на парковке с учётом допустимых зазоров безопасности для легкового автомобиля составляет 5,3 на 2,5 м. Также обязателен проезд между рядами 6 м. Какое наибольшее количество автомобилей можно разместить на парковке, которая будет построена на участке, указанном в плане?

5) За какое наименьшее количество лет Евгения Владимировна сможет отдать ипотечный кредит на квартиру в размере 2 000 000 р., если погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов, ставка по кредиту составляет 10% годовых, а ежегодные выплаты не должны превышать 500 000 р.?

Решение 1.

Решение 8.

1) В условии сказано, что спортивная площадка, обозначенная цифрой 1, расположена справа от детского сада. Следовательно, объект, расположенный слева от спортивной площадки, является детским садом. На плане это объект под цифрой 3. Также в условии говорится, что детский сад находится рядом с домом. Самый крупный объект на плане, примыкающий к детскому саду, — это жилой дом, обозначенный цифрой 2.
Ответ: Цифрой 2 на плане обозначен жилой дом, а цифрой 3 — детский сад.

2) Детский сад на плане обозначен цифрой 3. Сторона одной клетки на плане равна 5 м. Таким образом, площадь одной клетки составляет $5 \text{ м} \times 5 \text{ м} = 25 \text{ м}^2$. Фигура, обозначающая детский сад, занимает 20 клеток (можно посчитать напрямую или как разность площадей прямоугольников: $6 \times 4 - 2 \times 2 = 24 - 4 = 20$ клеток). Чтобы найти общую площадь, умножим количество клеток на площадь одной клетки: $20 \times 25 \text{ м}^2 = 500 \text{ м}^2$.
Ответ: $500 \text{ м}^2$.

3) В доме 120 квартир, 4 подъезда и 6 этажей. В каждом подъезде и на каждом этаже одинаковое количество квартир. Сначала найдём количество квартир в одном подъезде: $120 \text{ квартир} / 4 \text{ подъезда} = 30$ квартир в подъезде. Теперь найдём, в каком подъезде находится квартира 73.

• Подъезд 1: квартиры 1–30
• Подъезд 2: квартиры 31–60
• Подъезд 3: квартиры 61–90
• Подъезд 4: квартиры 91–120

Квартира 73 находится в 3-м подъезде. Далее найдём количество квартир на одном этаже в подъезде: $30 \text{ квартир} / 6 \text{ этажей} = 5$ квартир на этаже. Чтобы найти этаж, определим порядковый номер квартиры внутри её подъезда. Так как в первых двух подъездах 60 квартир, то номер квартиры 73 внутри своего подъезда будет: $73 - 60 = 13$. Теперь разделим этот номер на количество квартир на этаже: $13 / 5 = 2.6$. Округляем в большую сторону, так как 2 этажа уже полностью "заселены" (10 квартир), а 13-я квартира находится на следующем, третьем этаже.
Ответ: Квартира 73 расположена в 3-м подъезде на 3-м этаже.

4) Участок для парковки обозначен цифрой 4. Из плана видно, что его размеры 8 клеток в длину и 4 клетки в ширину. Поскольку сторона клетки 5 м, размеры участка: $8 \times 5 = 40$ м и $4 \times 5 = 20$ м. Площадь парковки $40 \text{ м} \times 20 \text{ м}$. Размер машино-места — $5,3 \times 2,5$ м. Ширина проезда между рядами — 6 м. Рассмотрим два варианта размещения.
Вариант 1: Ряды машин располагаются вдоль стороны 40 м. Глубина парковочного места — 5,3 м. Вдоль стороны 20 м можно разместить два ряда машин и один проезд между ними: $5,3 \text{ м} + 6 \text{ м} + 5,3 \text{ м} = 16,6$ м, что меньше 20 м. В каждом ряду длиной 40 м поместится $\lfloor \frac{40}{2,5} \rfloor = 16$ автомобилей. Общее количество: $16 \times 2 = 32$ автомобиля.
Вариант 2: Ряды машин располагаются вдоль стороны 20 м. Глубина парковочного места — 5,3 м. Вдоль стороны 40 м можно разместить $n$ рядов машин и $n-1$ проездов между ними. Проверим, сколько рядов поместится:

• 2 ряда и 1 проезд: $2 \times 5,3 + 1 \times 6 = 16,6$ м (помещается в 40 м)
• 3 ряда и 2 проезда: $3 \times 5,3 + 2 \times 6 = 15,9 + 12 = 27,9$ м (помещается в 40 м)
• 4 ряда и 3 проезда: $4 \times 5,3 + 3 \times 6 = 21,2 + 18 = 39,2$ м (помещается в 40 м)
• 5 рядов и 4 проезда: $5 \times 5,3 + 4 \times 6 = 26,5 + 24 = 50,5$ м (не помещается в 40 м)

Максимально можно разместить 4 ряда. В каждом ряду длиной 20 м поместится $\lfloor \frac{20}{2,5} \rfloor = 8$ автомобилей. Общее количество: $8 \times 4 = 32$ автомобиля.
В обоих вариантах максимальное количество автомобилей одинаково.
Ответ: 32.

5) Чтобы погасить кредит как можно быстрее, Евгения Владимировна должна вносить максимально возможный ежегодный платёж, то есть 500 000 р. Сумма кредита: $S_0 = 2\,000\,000$ р. Ставка: 10% годовых. Расчёт долга по годам (долг на конец года = (долг на начало года $\times 1,1$) - платёж):

• Конец 1-го года: $2\,000\,000 \times 1,1 - 500\,000 = 2\,200\,000 - 500\,000 = 1\,700\,000$ р.
• Конец 2-го года: $1\,700\,000 \times 1,1 - 500\,000 = 1\,870\,000 - 500\,000 = 1\,370\,000$ р.
• Конец 3-го года: $1\,370\,000 \times 1,1 - 500\,000 = 1\,507\,000 - 500\,000 = 1\,007\,000$ р.
• Конец 4-го года: $1\,007\,000 \times 1,1 - 500\,000 = 1\,107\,700 - 500\,000 = 607\,700$ р.
• Конец 5-го года: $607\,700 \times 1,1 - 500\,000 = 668\,470 - 500\,000 = 168\,470$ р.

После 5-го платежа остаток долга составляет 168 470 р. В 6-м году на эту сумму будут начислены проценты: $168\,470 \times 1,1 = 185\,317$ р. Эта сумма меньше максимального ежегодного платежа (500 000 р.), поэтому она будет погашена одним последним платежом в 6-м году. Таким образом, для полного погашения кредита потребуется 6 лет.
Ответ: 6.