Номер 90, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 1. Параграф 2. Приложения математики в реальной жизни. Глава 1. Числа и вычисления - номер 90, страница 30.

Условие.

90. Выясните, каким числом (рациональным или иррациональным) является значение выражения:

Решение 1.

Решение 8.

а) Чтобы выяснить, каким числом является значение выражения $(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{2}-\sqrt{3})$, применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{3}$.

Получаем: $(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$.

Число -1 является целым, а значит, и рациональным числом.

Ответ: рациональное число.

б) Раскроем скобки в выражении $(\sqrt{2}+2\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{2}-\sqrt{3})$ по правилу умножения многочленов (FOIL):

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 - \sqrt{6} + 2\sqrt{6} - 2 \cdot 3 = 2 + \sqrt{6} - 6 = -4 + \sqrt{6}$.

Так как $\sqrt{6}$ является иррациональным числом, то сумма рационального числа (-4) и иррационального числа ($\sqrt{6}$) также является иррациональным числом.

Ответ: иррациональное число.

в) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{2+\sqrt{3}} + \frac{1}{2-\sqrt{3}}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$.

$\frac{1 \cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} + \frac{1 \cdot (2+\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3} + 2+\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4}{4-3} = \frac{4}{1} = 4$.

Число 4 является целым, а значит, и рациональным числом.

Ответ: рациональное число.

г) Для выражения $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})$.

$\frac{1 \cdot (\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} - \frac{1 \cdot (\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2}) - (\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2} = \frac{2\sqrt{2}}{1} = 2\sqrt{2}$.

Произведение рационального числа 2 и иррационального числа $\sqrt{2}$ является иррациональным числом.

Ответ: иррациональное число.

д) Чтобы упростить дробь $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$, избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $\sqrt{3}+\sqrt{2}$.

$\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})} \cdot \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{3-2} = \frac{3 + 2\sqrt{6} + 2}{1} = 5 + 2\sqrt{6}$.

Сумма рационального числа 5 и иррационального числа $2\sqrt{6}$ является иррациональным числом.

Ответ: иррациональное число.

е) Чтобы упростить выражение $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$, приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$.

$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{2}) + \sqrt{5}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})} = \frac{5 + \sqrt{10} + 5 - \sqrt{10}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{10}{5-2} = \frac{10}{3}$.

Число $\frac{10}{3}$ является отношением двух целых чисел, то есть рациональным числом.

Ответ: рациональное число.