Номер 86, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 1. Параграф 2. Приложения математики в реальной жизни. Глава 1. Числа и вычисления - номер 86, страница 29.

Условие.

86. Расположите в порядке убывания числа:

Решение 1.

Решение 8.

а) Чтобы расположить числа в порядке убывания, сначала преобразуем каждое из них, используя свойства степеней.

1. Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{2}{3})^{-4} = (\frac{3}{2})^4 = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16}$

2. Второе число остается без изменений: $\frac{2}{3}$

3. Снова используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{3}{2})^{-4} = (\frac{2}{3})^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}$

4. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, $a^0 = 1$:
$(\frac{3}{2})^0 = 1$

Теперь у нас есть числа: $\frac{81}{16}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{16}{81}$ и $1$. Сравним их значения:

$\frac{81}{16} = 5\frac{1}{16} = 5.0625$

$\frac{2}{3} \approx 0.667$

$\frac{16}{81} \approx 0.198$

$1$

Располагая эти значения в порядке убывания, получаем: $5.0625 > 1 > 0.667 > 0.198$, что соответствует $\frac{81}{16} > 1 > \frac{2}{3} > \frac{16}{81}$.

Запишем в исходном виде:
$(\frac{2}{3})^{-4} > (\frac{3}{2})^0 > \frac{2}{3} > (\frac{3}{2})^{-4}$.

Ответ: $(\frac{2}{3})^{-4}$; $\frac{2}{3}$; $(\frac{3}{2})^{-4}$; $(\frac{3}{2})^0$.

б) В данном случае все числа являются степенями с одинаковым основанием $2.5$. Основание $a = 2.5$ больше 1. Показательная функция $y=a^x$ с основанием $a>1$ является возрастающей. Это значит, что чем больше показатель степени, тем больше значение выражения.

Данные числа: $(2.5)^{-3}$, $2.5$, $(2.5)^{-5}$, $(2.5)^0$. Представим $2.5$ как $(2.5)^1$. Показатели степеней равны: $-3$, $1$, $-5$, $0$.

Расположим показатели в порядке убывания: $1 > 0 > -3 > -5$.

Поскольку основание $2.5 > 1$, порядок чисел будет таким же, как и порядок их показателей: $(2.5)^1 > (2.5)^0 > (2.5)^{-3} > (2.5)^{-5}$.

Ответ: $2.5$; $(2.5)^0$; $(2.5)^{-3}$; $(2.5)^{-5}$.

в) Здесь все числа являются степенями с одинаковым основанием $\frac{4}{9}$. Основание $a = \frac{4}{9}$ меньше 1 (и больше 0). Показательная функция $y=a^x$ с основанием $0 < a < 1$ является убывающей. Это значит, что чем больше показатель степени, тем меньше значение выражения.

Данные числа: $(\frac{4}{9})^{-5}$, $(\frac{4}{9})^{-6}$, $\frac{4}{9}$, $(\frac{4}{9})^0$. Представим $\frac{4}{9}$ как $(\frac{4}{9})^1$. Показатели степеней равны: $-5$, $-6$, $1$, $0$.

Расположим показатели в порядке убывания: $1 > 0 > -5 > -6$.

Поскольку основание $\frac{4}{9} < 1$, порядок чисел будет обратным порядку их показателей: $(\frac{4}{9})^{-6} > (\frac{4}{9})^{-5} > (\frac{4}{9})^0 > (\frac{4}{9})^1$.

Ответ: $(\frac{4}{9})^{-6}$; $(\frac{4}{9})^{-5}$; $(\frac{4}{9})^0$; $\frac{4}{9}$.