Номер 84, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 1. Параграф 2. Приложения математики в реальной жизни. Глава 1. Числа и вычисления - номер 84, страница 29.

Условие.

84. Установите соответствие между точками, отмеченными на координатной прямой (рис. 6, а), и числами

Решение 1.

Решение 8.

Для того чтобы установить соответствие между точками на координатной прямой и заданными числами, необходимо вычислить значение каждого числа, а затем сравнить их и расположить в порядке возрастания. Это и будет их порядок на прямой слева направо.

$\sqrt{11}$

Для оценки значения корня найдем квадраты ближайших целых чисел: $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$. Поскольку $9 < 11 < 16$, то и $\sqrt{9} < \sqrt{11} < \sqrt{16}$, следовательно, $3 < \sqrt{11} < 4$. Для более точной оценки можно использовать приближение: $3,3^2 = 10,89$, что очень близко к 11. Таким образом, $\sqrt{11} \approx 3,32$.

$\frac{123}{23}$

Это неправильная дробь. Чтобы найти ее значение, выделим целую часть, разделив 123 на 23. $23 \times 5 = 115$. Остаток от деления $123 - 115 = 8$. Таким образом, дробь можно записать в виде смешанного числа: $\frac{123}{23} = 5\frac{8}{23}$. Значение этого числа очевидно больше 5. Для более точного сравнения переведем в десятичную дробь: $5\frac{8}{23} \approx 5 + 0,348 = 5,348$.

$(1\frac{2}{3})^2$

Сперва преобразуем смешанное число $1\frac{2}{3}$ в неправильную дробь: $1\frac{2}{3} = \frac{1 \times 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$. Теперь возведем полученную дробь в квадрат: $(\frac{5}{3})^2 = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9}$. Для удобства сравнения переведем в десятичную дробь: $25 \div 9 = 2,777... = 2,(7)$.

$(0,8)^{-1}$

Степень с отрицательным показателем $-1$ означает нахождение обратного числа. Сначала представим $0,8$ в виде обыкновенной дроби: $0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$. Тогда: $(0,8)^{-1} = (\frac{4}{5})^{-1} = \frac{5}{4}$. Переведем в десятичную дробь: $\frac{5}{4} = 1,25$.

Установление соответствия

Теперь, когда мы вычислили значения всех чисел, мы можем их сравнить:

• $(0,8)^{-1} = 1,25$
• $(1\frac{2}{3})^2 = 2,(7) \approx 2,78$
• $\sqrt{11} \approx 3,32$
• $\frac{123}{23} = 5\frac{8}{23} \approx 5,35$

Расположим числа в порядке возрастания их значений:

$1,25 < 2,(7) < \sqrt{11} < 5\frac{8}{23}$

Заменив десятичные приближения на исходные выражения, получаем искомый порядок:

$(0,8)^{-1} < (1\frac{2}{3})^2 < \sqrt{11} < \frac{123}{23}$

Это означает, что на координатной прямой самой левой будет точка, соответствующая числу $(0,8)^{-1}$, затем правее — точка для $(1\frac{2}{3})^2$, еще правее — для $\sqrt{11}$, и самой правой будет точка для $\frac{123}{23}$.

Ответ: Порядок расположения чисел на координатной прямой слева направо: $(0,8)^{-1}$; $(1\frac{2}{3})^2$; $\sqrt{11}$; $\frac{123}{23}$.