Номер 85, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 1. Параграф 2. Приложения математики в реальной жизни. Глава 1. Числа и вычисления - номер 85, страница 29.

Условие.

85. Число a отмечено точкой на координатной прямой (рис. 6, б). Расположите в порядке убывания числа a – 2; $\frac{1}{a}$; a².

Решение 1.

Решение 8.

б)

Из условия задачи и рисунка 6, б) следует, что число a находится на координатной прямой в интервале от 0 до 1. Это можно записать в виде двойного неравенства: $0 < a < 1$.

Нам необходимо сравнить и расположить в порядке убывания три числа: $a - 2$, $\frac{1}{a}$ и $a^2$. Для этого оценим значение каждого из них.

1. Оценим значение выражения $a - 2$.

   Возьмем исходное неравенство $0 < a < 1$ и вычтем из каждой его части число 2:

   $0 - 2 < a - 2 < 1 - 2$

   $-2 < a - 2 < -1$

   Таким образом, значение выражения $a - 2$ является отрицательным числом, находящимся в интервале от -2 до -1.

2. Оценим значение выражения $\frac{1}{a}$.

   Поскольку $a$ — это положительное число, которое меньше 1 (является правильной дробью), то обратное ему число $\frac{1}{a}$ будет больше 1. Чтобы доказать это строго, разделим неравенство $a < 1$ на положительное число $a$. Знак неравенства при этом не изменится:

   $\frac{a}{a} < \frac{1}{a}$

   $1 < \frac{1}{a}$

   Следовательно, значение выражения $\frac{1}{a}$ — это положительное число, которое больше 1.

3. Оценим значение выражения $a^2$.

   При возведении в квадрат положительного числа, меньшего 1, результат также будет положительным числом, меньшим 1. Умножим неравенство $a < 1$ на положительное число $a$:

   $a \cdot a < 1 \cdot a$

   $a^2 < a$

   Поскольку мы знаем, что $a < 1$, то и $a^2$ тоже будет меньше 1. Таким образом, мы имеем следующую цепочку неравенств:

   $0 < a^2 < a < 1$

   Значит, значение выражения $a^2$ — это положительное число, находящееся в интервале от 0 до 1.

Теперь, зная свойства каждого числа, мы можем их сравнить:

• Число $\frac{1}{a}$ больше 1.
• Число $a^2$ больше 0, но меньше 1.
• Число $a - 2$ является отрицательным.

Располагая числа в порядке убывания (от самого большого к самому маленькому), получаем следующую последовательность:

$\frac{1}{a} > a^2 > a - 2$

Ответ: $\frac{1}{a}; a^2; a - 2$.