Страница 35 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

98. Перечислите свойства функции, график которой изображён на:

а) рисунке 12;

б) рисунке 13.

Перечислим основные свойства функции, график которой изображён на рисунке 12.

1. Область определения функции:

   График определён для значений $x$ от -6 до 6. Точка при $x=-6$ закрашена (входит в область определения), а точка при $x=6$ выколота (не входит). Также есть выколотая точка при $x=-2$. Следовательно, область определения: $D(f) = [-6; -2) \cup (-2; 6)$.

2. Область значений функции:

   Минимальное значение $y=-5$ не достигается (точка выколота), максимальное значение $y=3$ достигается. Следовательно, область значений: $E(f) = (-5; 3]$.

3. Нули функции:

   Функция пересекает ось абсцисс (где $y=0$) в точках $x = -4$ и $x = 3$.

4. Промежутки знакопостоянства:
   • Функция положительна ($y > 0$) при $x \in (-4; -2) \cup (-2; 3)$.
   • Функция отрицательна ($y < 0$) при $x \in [-6; -4) \cup (3; 6)$.
5. Промежутки монотонности:
   • Функция возрастает при $x \in [-6; -2)$ и $x \in (-2; 1]$.
   • Функция убывает при $x \in [1; 6)$.
6. Экстремумы функции:

   Функция имеет точку максимума при $x_{max} = 1$, значение в этой точке $y_{max} = 3$. Точек минимума нет.

7. Непрерывность:

   Функция непрерывна на всей области определения, за исключением точки $x=-2$, где она имеет устранимый разрыв.

8. Чётность и нечётность:

   Функция является функцией общего вида (не является ни чётной, ни нечётной), так как её область определения несимметрична относительно нуля, и график несимметричен ни относительно оси $y$, ни относительно начала координат.

Ответ: Свойства функции: область определения $D(f) = [-6; -2) \cup (-2; 6)$; область значений $E(f) = (-5; 3]$; нули функции: $x=-4, x=3$; $y>0$ при $x \in (-4; -2) \cup (-2; 3)$, $y<0$ при $x \in [-6; -4) \cup (3; 6)$; возрастает на $[-6; -2)$ и $(-2; 1]$, убывает на $[1; 6)$; максимум функции $y_{max}=3$ при $x=1$; функция общего вида с точкой разрыва при $x=-2$.

Перечислим основные свойства функции, график которой изображён на рисунке 13.

1. Область определения функции:

   График определён для значений $x$ от -8 до 4. Обе крайние точки закрашены. Следовательно, область определения: $D(f) = [-8; 4]$.

2. Область значений функции:

   Наименьшее значение функции $y=-5$, наибольшее $y=7$. Следовательно, область значений: $E(f) = [-5; 7]$.

3. Нули функции:

   Функция пересекает или касается оси абсцисс в точках $x = -5$, $x = 0$ и $x = 2$.

4. Промежутки знакопостоянства:
   • Функция положительна ($y > 0$) при $x \in [-8; -5) \cup (0; 2) \cup (2; 4]$.
   • Функция отрицательна ($y < 0$) при $x \in (-5; 0)$.
5. Промежутки монотонности:
   • Функция возрастает при $x \in [-2; 0.5]$ и $x \in [2; 4]$.
   • Функция убывает при $x \in [-8; -2]$ и $x \in [0.5; 2]$.
6. Экстремумы функции:
   • Точки минимума: $x_{min1} = -2$ (значение $y=-5$) и $x_{min2} = 2$ (значение $y=0$).
   • Точка максимума: $x_{max} = 0.5$ (значение $y=1$).
7. Наибольшее и наименьшее значения:
   • Наибольшее значение функции на области определения: $y_{наиб} = f(-8) = 7$.
   • Наименьшее значение функции на области определения: $y_{наим} = f(-2) = -5$.
8. Непрерывность:

   Функция непрерывна на всей области определения $D(f)$.

9. Чётность и нечётность:

   Функция является функцией общего вида (не является ни чётной, ни нечётной), так как её область определения несимметрична относительно нуля, и график также несимметричен.

Ответ: Свойства функции: область определения $D(f) = [-8; 4]$; область значений $E(f) = [-5; 7]$; нули функции: $x=-5, x=0, x=2$; $y>0$ при $x \in [-8; -5) \cup (0; 4] \setminus \{2\}$, $y<0$ при $x \in (-5; 0)$; убывает на $[-8; -2]$ и $[0.5; 2]$, возрастает на $[-2; 0.5]$ и $[2; 4]$; $y_{наиб}=7$, $y_{наим}=-5$; функция непрерывная, общего вида.

99. Найдите область определения функции, заданной формулой:

а) Данная функция $y = x^2 + 3x - 25$ является многочленом. Многочлены определены для любых действительных значений переменной $x$, так как в выражении отсутствуют операции, которые могут наложить ограничения (такие как деление на переменную или извлечение корня четной степени). Следовательно, область определения функции — все действительные числа.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) В функции $y = \sqrt{5-3x}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поскольку извлекать квадратный корень из отрицательного числа в области действительных чисел нельзя. Составим и решим неравенство:
$5-3x \geq 0$
$-3x \geq -5$
$3x \leq 5$
$x \leq \frac{5}{3}$
Таким образом, область определения — это числовой промежуток от минус бесконечности до $\frac{5}{3}$ включительно.
Ответ: $D(y) = (-\infty; \frac{5}{3}]$.

в) Функция $y = \frac{x^2-1}{x+1}$ является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, при которых ее знаменатель не обращается в ноль, так как деление на ноль не определено. Найдем недопустимые значения $x$, решив уравнение:
$x+1 = 0$
$x = -1$
Таким образом, область определения — это все действительные числа, кроме $x = -1$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

г) Для функции $y = \frac{x+1}{x^2+1}$ необходимо, чтобы знаменатель $x^2+1$ не был равен нулю. Проверим, существуют ли значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$x^2+1 = 0$
$x^2 = -1$
Это уравнение не имеет решений в области действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \geq 0$). Следовательно, знаменатель $x^2+1$ всегда будет больше нуля (точнее, $x^2+1 \geq 1$). Значит, ограничений на значения $x$ нет.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.