Номер 31, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Сравнение действительных чисел. Параграф 1. Действительные числа. Глава 1. Числа и вычисления - номер 31, страница 13.

Условие.

31. Сравните числа с и с при условии, что: а) с › 1; б) 0 ‹ с ‹ 1. Существует ли значение с, при котором верно равенство с = с?

Решение 1.

Решение 8.

Для сравнения чисел $c$ и $\sqrt{c}$ рассмотрим их разность $c - \sqrt{c}$ и определим ее знак в зависимости от значения $c$. Поскольку по определению арифметического квадратного корня $c \ge 0$, мы можем представить $c$ как $(\sqrt{c})^2$.

Тогда разность можно преобразовать, вынеся общий множитель $\sqrt{c}$ за скобки:

$c - \sqrt{c} = (\sqrt{c})^2 - \sqrt{c} = \sqrt{c}(\sqrt{c} - 1)$

Знак этого выражения зависит от знаков множителей $\sqrt{c}$ и $(\sqrt{c} - 1)$.

а) При условии, что $c > 1$.

Если $c > 1$, то извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получаем $\sqrt{c} > \sqrt{1}$, то есть $\sqrt{c} > 1$. Рассмотрим множители в выражении $\sqrt{c}(\sqrt{c} - 1)$:

• Первый множитель $\sqrt{c}$ положителен.
• Второй множитель $(\sqrt{c} - 1)$ также положителен, так как $\sqrt{c} > 1$.

Произведение двух положительных чисел является положительным числом, следовательно, $c - \sqrt{c} > 0$. Из этого следует, что $c > \sqrt{c}$.

Ответ: при $c > 1$ выполняется неравенство $c > \sqrt{c}$.

б) При условии, что $0 < c < 1$.

Если $0 < c < 1$, то извлекая квадратный корень из всех частей двойного неравенства, получаем $\sqrt{0} < \sqrt{c} < \sqrt{1}$, то есть $0 < \sqrt{c} < 1$. Рассмотрим множители в выражении $\sqrt{c}(\sqrt{c} - 1)$:

• Первый множитель $\sqrt{c}$ положителен.
• Второй множитель $(\sqrt{c} - 1)$ отрицателен, так как $\sqrt{c} < 1$.

Произведение положительного и отрицательного чисел является отрицательным числом, следовательно, $c - \sqrt{c} < 0$. Из этого следует, что $c < \sqrt{c}$.

Ответ: при $0 < c < 1$ выполняется неравенство $c < \sqrt{c}$.

Теперь ответим на вопрос, существует ли значение $c$, при котором верно равенство $\sqrt{c} = c$.

Равенство $\sqrt{c} = c$ эквивалентно уравнению $c - \sqrt{c} = 0$. Используя преобразование, выполненное ранее, получаем:

$\sqrt{c}(\sqrt{c} - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два случая:

1) $\sqrt{c} = 0$, что дает $c = 0$.
2) $\sqrt{c} - 1 = 0$, откуда $\sqrt{c} = 1$, что дает $c = 1$.

Проверка подтверждает, что оба значения являются решениями: при $c=0$, $\sqrt{0} = 0$ (верно); при $c=1$, $\sqrt{1} = 1$ (верно). Значит, такие значения $c$ существуют.

Ответ: да, существует. Равенство $\sqrt{c} = c$ верно при $c=0$ и при $c=1$.