Номер 36, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Сравнение действительных чисел. Параграф 1. Действительные числа. Глава 1. Числа и вычисления - номер 36, страница 13.

Условие.

36. Вычислите:

Решение 1.

Решение 8.

а) Для вычисления значения выражения $\frac{27^5 + 27^4}{9^8 + 9^7 + 9^6}$ приведем все степени к одному основанию 3, так как $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$.
Запишем выражение в новом виде: $\frac{(3^3)^5 + (3^3)^4}{(3^2)^8 + (3^2)^7 + (3^2)^6}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $\frac{3^{15} + 3^{12}}{3^{16} + 3^{14} + 3^{12}}$.
Вынесем за скобки в числителе и знаменателе наименьшую степень ($3^{12}$):
$\frac{3^{12}(3^{15-12} + 3^{12-12})}{3^{12}(3^{16-12} + 3^{14-12} + 3^{12-12})} = \frac{3^{12}(3^3 + 1)}{3^{12}(3^4 + 3^2 + 1)}$.
Сократим дробь на общий множитель $3^{12}$: $\frac{3^3 + 1}{3^4 + 3^2 + 1}$.
Теперь вычислим значения в числителе и знаменателе: $\frac{27 + 1}{81 + 9 + 1} = \frac{28}{91}$.
Сократим полученную дробь. Общий делитель для 28 и 91 равен 7: $\frac{28 \div 7}{91 \div 7} = \frac{4}{13}$.
Ответ: $\frac{4}{13}$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{16^7 + 16^6}{8^{10} + 8^9 + 8^8}$. Приведем все степени к основанию 2, так как $16 = 2^4$ и $8 = 2^3$.
Выражение примет вид: $\frac{(2^4)^7 + (2^4)^6}{(2^3)^{10} + (2^3)^9 + (2^3)^8} = \frac{2^{28} + 2^{24}}{2^{30} + 2^{27} + 2^{24}}$.
Вынесем за скобки в числителе и знаменателе наименьшую степень ($2^{24}$):
$\frac{2^{24}(2^{28-24} + 2^{24-24})}{2^{24}(2^{30-24} + 2^{27-24} + 2^{24-24})} = \frac{2^{24}(2^4 + 1)}{2^{24}(2^6 + 2^3 + 1)}$.
Сократим общий множитель $2^{24}$: $\frac{2^4 + 1}{2^6 + 2^3 + 1}$.
Вычислим значения в числителе и знаменателе: $\frac{16 + 1}{64 + 8 + 1} = \frac{17}{73}$.
Числа 17 и 73 являются взаимно простыми, поэтому дробь несократима.
Ответ: $\frac{17}{73}$.

в) Рассмотрим выражение $\frac{4^{95} + 4^{94} + 4^{93}}{21 \cdot (16^2)^{23}}$.
Сначала преобразуем числитель, вынеся за скобки общий множитель с наименьшей степенью $4^{93}$:
$4^{93}(4^2 + 4^1 + 1) = 4^{93}(16 + 4 + 1) = 4^{93} \cdot 21$.
Теперь преобразуем знаменатель. Сначала упростим степень: $(16^2)^{23} = 16^{2 \cdot 23} = 16^{46}$.
Приведем основание 16 к основанию 4, так как $16=4^2$. Тогда $16^{46} = (4^2)^{46} = 4^{2 \cdot 46} = 4^{92}$.
Таким образом, знаменатель равен $21 \cdot 4^{92}$.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$\frac{4^{93} \cdot 21}{21 \cdot 4^{92}}$.
Сократим на 21: $\frac{4^{93}}{4^{92}}$.
По свойству деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ получаем: $4^{93-92} = 4^1 = 4$.
Ответ: 4.