Номер 50, страница 17 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Погрешность и точность приближения. Параграф 1. Действительные числа. Глава 1. Числа и вычисления - номер 50, страница 17.

Условие.

50. Измерили толщину человеческого волоса d и расстояние от Земли до Луны l. Получили d ≈ 0,15 мм с точностью до 0,01 мм и l ≈ 384 000 км с точностью до 500 км. Сравните качество измерений, оценив относительные погрешности.

Решение 1.

Решение 8.

Для сравнения качества измерений необходимо оценить их относительные погрешности. Качество измерения считается тем выше, чем меньше его относительная погрешность. Относительная погрешность $\epsilon$ — это отношение абсолютной погрешности $\Delta x$ к значению измеряемой величины $x$.

Формула для расчета относительной погрешности:

$\epsilon = \frac{\Delta x}{x}$

Часто относительную погрешность выражают в процентах, умножая полученное значение на 100%.

1. Оценка относительной погрешности измерения толщины волоса

Дано:

• Измеренное значение толщины волоса: $d \approx 0,15$ мм.
• Абсолютная погрешность измерения: $\Delta d = 0,01$ мм.

Рассчитаем относительную погрешность $\epsilon_d$ для этого измерения:

$\epsilon_d = \frac{\Delta d}{d} = \frac{0,01 \text{ мм}}{0,15 \text{ мм}} = \frac{1}{15}$

Переведем в десятичную дробь и проценты:

$\epsilon_d = \frac{1}{15} \approx 0,0667$ или $6,67\%$

2. Оценка относительной погрешности измерения расстояния до Луны

Дано:

• Измеренное значение расстояния до Луны: $l \approx 384\,000$ км.
• Абсолютная погрешность измерения: $\Delta l = 500$ км.

Рассчитаем относительную погрешность $\epsilon_l$ для этого измерения:

$\epsilon_l = \frac{\Delta l}{l} = \frac{500 \text{ км}}{384\,000 \text{ км}} = \frac{5}{3840} = \frac{1}{768}$

Переведем в десятичную дробь и проценты:

$\epsilon_l = \frac{1}{768} \approx 0,0013$ или $0,13\%$

3. Сравнение качества измерений

Теперь сравним полученные относительные погрешности:

$\epsilon_d \approx 6,67\%$

$\epsilon_l \approx 0,13\%$

Так как $0,13\% < 6,67\%$, то $\epsilon_l < \epsilon_d$.

Это означает, что измерение расстояния от Земли до Луны было выполнено с большей точностью (является более качественным), чем измерение толщины волоса, несмотря на то что абсолютная погрешность измерения расстояния ($500$ км) намного больше абсолютной погрешности измерения толщины волоса ($0,01$ мм).

Ответ: Относительная погрешность измерения толщины волоса составляет $\frac{1}{15} \approx 6,7\%$, а относительная погрешность измерения расстояния до Луны — $\frac{1}{768} \approx 0,13\%$. Поскольку относительная погрешность измерения расстояния до Луны меньше, это измерение является более качественным.