Номер 53, страница 17 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Погрешность и точность приближения. Параграф 1. Действительные числа. Глава 1. Числа и вычисления - номер 53, страница 17.

Условие.

53. а) Разность корней уравнения x² – 8x + q = 0 равна 16. Найдите q.

б) Сумма квадратов корней уравнения x² – 7x + q = 0 равна 29. Найдите q.

Решение 1.

Решение 8.

а) Для квадратного уравнения $x^2 - 8x + q = 0$, обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$. По условию, разность корней равна 16, то есть $|x_1 - x_2| = 16$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем случае $p = -8$, поэтому:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-8) = 8$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$.

Теперь используем тождество, связывающее разность, сумму и произведение корней: $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

Подставляем известные нам значения:

$16^2 = 8^2 - 4q$

$256 = 64 - 4q$

Выразим $4q$ из этого уравнения:

$4q = 64 - 256$

$4q = -192$

Находим $q$:

$q = \frac{-192}{4} = -48$

Ответ: $q = -48$.

---

б) Для квадратного уравнения $x^2 - 7x + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ известно, что сумма их квадратов равна 29, то есть $x_1^2 + x_2^2 = 29$.

Применим теорему Виета. В данном уравнении $p = -7$:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-7) = 7$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$.

Используем тождество, которое выражает сумму квадратов корней через их сумму и произведение: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим известные значения в тождество:

$29 = 7^2 - 2q$

$29 = 49 - 2q$

Выразим $2q$ из полученного уравнения:

$2q = 49 - 29$

$2q = 20$

Находим $q$:

$q = \frac{20}{2} = 10$

Ответ: $q = 10$.