Номер 52, страница 17 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Погрешность и точность приближения. Параграф 1. Действительные числа. Глава 1. Числа и вычисления - номер 52, страница 17.

Условие.

52. Докажите неравенство:

Решение 1.

Решение 8.

а) Чтобы доказать неравенство $6a(a + 1) < (3a + 1)(2a + 1) + a$, преобразуем обе его части, раскрыв скобки и упростив выражения.

1. Упростим левую часть неравенства:
$6a(a + 1) = 6a^2 + 6a$

2. Упростим правую часть неравенства:
$(3a + 1)(2a + 1) + a = (3a \cdot 2a + 3a \cdot 1 + 1 \cdot 2a + 1 \cdot 1) + a = (6a^2 + 3a + 2a + 1) + a = 6a^2 + 5a + 1 + a = 6a^2 + 6a + 1$

3. Подставим упрощенные выражения обратно в исходное неравенство:
$6a^2 + 6a < 6a^2 + 6a + 1$

4. Перенесем все члены из левой части в правую (или вычтем из обеих частей выражение $6a^2 + 6a$):
$0 < (6a^2 + 6a + 1) - (6a^2 + 6a)$
$0 < 1$

Мы получили верное числовое неравенство $0 < 1$, которое не зависит от значения переменной $a$. Это означает, что исходное неравенство справедливо при любых значениях $a$.
Ответ: неравенство доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $(2p - 1)(2p + 1) + 3(p + 1) > (4p + 3)p$, также преобразуем обе его части.

1. Упростим левую часть. Выражение $(2p - 1)(2p + 1)$ является разностью квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$(2p - 1)(2p + 1) + 3(p + 1) = ((2p)^2 - 1^2) + (3p + 3) = (4p^2 - 1) + 3p + 3 = 4p^2 + 3p + 2$

2. Упростим правую часть, раскрыв скобки:
$(4p + 3)p = 4p \cdot p + 3 \cdot p = 4p^2 + 3p$

3. Подставим упрощенные выражения в исходное неравенство:
$4p^2 + 3p + 2 > 4p^2 + 3p$

4. Вычтем из обеих частей неравенства выражение $4p^2 + 3p$:
$(4p^2 + 3p + 2) - (4p^2 + 3p) > 0$
$2 > 0$

Мы получили верное числовое неравенство $2 > 0$, которое не зависит от значения переменной $p$. Следовательно, исходное неравенство верно при любых значениях $p$.
Ответ: неравенство доказано.