Номер 153, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Построение графика квадратичной функции. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 153, страница 60.

Условие.

153. Постройте график функции и опишите её свойства:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $y = \frac{1}{3}x^2 - 4x + 4$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Для построения графика найдем его ключевые элементы.

• Коэффициент при $x^2$ равен $a = \frac{1}{3} > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
• Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:
  $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{4}{2/3} = 6$.
  $y_0 = \frac{1}{3}(6)^2 - 4(6) + 4 = \frac{36}{3} - 24 + 4 = 12 - 24 + 4 = -8$.
  Вершина находится в точке $(6; -8)$.
• Ось симметрии параболы — прямая $x = 6$.
• Точка пересечения с осью ординат (OY): при $x=0$, $y = \frac{1}{3}(0)^2 - 4(0) + 4 = 4$. Точка $(0; 4)$.
• Точки пересечения с осью абсцисс (OX), или нули функции: решаем уравнение $\frac{1}{3}x^2 - 4x + 4 = 0$.
  Умножим на 3: $x^2 - 12x + 12 = 0$.
  Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 144 - 48 = 96$.
  $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{12 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{6}$.
  Нули функции: $x_1 = 6 - 2\sqrt{6}$ и $x_2 = 6 + 2\sqrt{6}$.
• Для построения графика можно использовать найденные точки: вершину $(6, -8)$, точки пересечения с осями $(0, 4)$, $(6 - 2\sqrt{6}, 0)$, $(6 + 2\sqrt{6}, 0)$ и точку, симметричную $(0, 4)$ относительно оси симметрии, — $(12, 4)$.

Ответ:

Свойства функции $y = \frac{1}{3}x^2 - 4x + 4$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-8; +\infty)$.
• Нули функции: $x = 6 - 2\sqrt{6}$ и $x = 6 + 2\sqrt{6}$.
• Промежутки знакопостоянства: функция положительна ($y>0$) при $x \in (-\infty; 6 - 2\sqrt{6}) \cup (6 + 2\sqrt{6}; +\infty)$; функция отрицательна ($y<0$) при $x \in (6 - 2\sqrt{6}; 6 + 2\sqrt{6})$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 6]$ и возрастает на промежутке $[6; +\infty)$.
• Точка минимума $x_{min} = 6$; минимальное значение функции $y_{min} = -8$.
• Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

б) $y = -\frac{1}{4}x^2 + x - 1$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Для построения графика найдем его ключевые элементы.

• Коэффициент при $x^2$ равен $a = -\frac{1}{4} < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
• Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:
  $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-\frac{1}{4})} = \frac{1}{1/2} = 2$.
  $y_0 = -\frac{1}{4}(2)^2 + 2 - 1 = -\frac{4}{4} + 2 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$.
  Вершина находится в точке $(2; 0)$.
• Ось симметрии параболы — прямая $x = 2$.
• Точка пересечения с осью ординат (OY): при $x=0$, $y = -\frac{1}{4}(0)^2 + 0 - 1 = -1$. Точка $(0; -1)$.
• Точка пересечения с осью абсцисс (OX): так как ордината вершины $y_0 = 0$, парабола касается оси OX в своей вершине. Нуль функции: $x = 2$.
• Для построения графика можно использовать найденные точки: вершину $(2, 0)$, точку пересечения с осью OY $(0, -1)$ и точку, симметричную ей относительно оси симметрии, — $(4, -1)$.

Ответ:

Свойства функции $y = -\frac{1}{4}x^2 + x - 1$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0]$.
• Нуль функции: $x = 2$.
• Промежутки знакопостоянства: функция отрицательна ($y<0$) при $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$; $y=0$ при $x=2$. Функция не принимает положительных значений.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 2]$ и убывает на промежутке $[2; +\infty)$.
• Точка максимума $x_{max} = 2$; максимальное значение функции $y_{max} = 0$.
• Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

в) $y = x^2 + 3x$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Для построения графика найдем его ключевые элементы.

• Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
• Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:
  $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$.
  $y_0 = (-1.5)^2 + 3(-1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$.
  Вершина находится в точке $(-1.5; -2.25)$.
• Ось симметрии параболы — прямая $x = -1.5$.
• Точки пересечения с осями координат:
  При $x=0$, $y = 0^2 + 3(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.
  При $y=0$, $x^2 + 3x = 0 \implies x(x+3)=0$. Нули функции: $x_1 = 0$, $x_2 = -3$.
  График проходит через начало координат $(0; 0)$ и точку $(-3; 0)$.
• Для построения графика можно использовать найденные точки: вершину $(-1.5, -2.25)$ и точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(-3, 0)$.

Ответ:

Свойства функции $y = x^2 + 3x$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-2.25; +\infty)$.
• Нули функции: $x = 0$ и $x = -3$.
• Промежутки знакопостоянства: функция положительна ($y>0$) при $x \in (-\infty; -3) \cup (0; +\infty)$; функция отрицательна ($y<0$) при $x \in (-3; 0)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; -1.5]$ и возрастает на промежутке $[-1.5; +\infty)$.
• Точка минимума $x_{min} = -1.5$; минимальное значение функции $y_{min} = -2.25$.
• Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).