Номер 160, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Построение графика квадратичной функции. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 160, страница 60.

Условие.

160. При каком значении n графики функций y = 2x² – 5x + 6 и y = x² – 7x + n имеют только одну общую точку? Найдите координаты этой точки.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы найти общие точки графиков двух функций, необходимо приравнять их правые части, так как в точках пересечения их координаты x и y совпадают.

Даны функции: $y = 2x^2 - 5x + 6$ и $y = x^2 - 7x + n$.

Приравниваем их:

$2x^2 - 5x + 6 = x^2 - 7x + n$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$(2x^2 - x^2) + (-5x + 7x) + (6 - n) = 0$

$x^2 + 2x + (6 - n) = 0$

Графики функций имеют только одну общую точку, если полученное квадратное уравнение имеет только один корень. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ равен нулю.

Нахождение значения n

Найдем дискриминант уравнения $x^2 + 2x + (6 - n) = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2$, $c = 6-n$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6 - n) = 4 - 24 + 4n = 4n - 20$.

Приравниваем дискриминант к нулю:

$4n - 20 = 0$

$4n = 20$

$n = 5$

Ответ: $n=5$.

Нахождение координат этой точки

Теперь, когда мы знаем значение $n=5$, мы можем найти корень уравнения, который будет абсциссой (координатой x) общей точки. Подставим $n=5$ в наше квадратное уравнение:

$x^2 + 2x + (6 - 5) = 0$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

Это уравнение является полным квадратом: $(x+1)^2 = 0$. Отсюда находим корень: $x = -1$.

Чтобы найти ординату (координату y) общей точки, подставим найденное значение $x=-1$ в уравнение любой из исходных функций. Возьмем первую функцию: $y = 2x^2 - 5x + 6$.

$y = 2(-1)^2 - 5(-1) + 6 = 2(1) + 5 + 6 = 2 + 5 + 6 = 13$.

Для проверки подставим $x=-1$ и $n=5$ во вторую функцию: $y = x^2 - 7x + n$.

$y = (-1)^2 - 7(-1) + 5 = 1 + 7 + 5 = 13$.

Оба результата совпадают, значит, координаты найдены верно.

Ответ: $(-1, 13)$.