Номер 156, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Построение графика квадратичной функции. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 156, страница 60.

Условие.

156. Постройте график функции:

а) y = (x – 2)(x + 4);

б) y = –x (x + 5).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Для построения графика функции $y = (x - 2)(x + 4)$ необходимо исследовать эту функцию. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.
1. Приведение к стандартному виду. Раскроем скобки, чтобы привести уравнение к виду $y = ax^2 + bx + c$:
$y = x^2 + 4x - 2x - 8 = x^2 + 2x - 8$.
2. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
3. Точки пересечения с осью абсцисс (Ox). Найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$:
$(x - 2)(x + 4) = 0$.
Отсюда $x - 2 = 0$ или $x + 4 = 0$.
Получаем корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-4, 0)$ и $(2, 0)$.
4. Координаты вершины параболы. Абсциссу вершины $x_v$ можно найти как среднее арифметическое корней:
$x_v = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Теперь найдем ординату вершины $y_v$, подставив $x_v = -1$ в уравнение функции:
$y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$.
Координаты вершины параболы: $(-1, -9)$.
5. Точка пересечения с осью ординат (Oy). Для этого подставим $x = 0$ в уравнение:
$y = 0^2 + 2(0) - 8 = -8$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -8)$.
Имея эти ключевые точки (вершину, точки пересечения с осями), можно построить график параболы.
Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх, вершиной в точке $(-1, -9)$ и пересекающая ось Ox в точках $(-4, 0)$ и $(2, 0)$.

б)

Для построения графика функции $y = -x(x + 5)$ проведем ее исследование. Это также квадратичная функция, и ее график — парабола.
1. Приведение к стандартному виду. Раскроем скобки:
$y = -x^2 - 5x$.
2. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
3. Точки пересечения с осью абсцисс (Ox). Найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$:
$-x(x + 5) = 0$.
Отсюда $-x = 0$ или $x + 5 = 0$.
Получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-5, 0)$ и $(0, 0)$.
4. Координаты вершины параболы. Абсциссу вершины $x_v$ найдем как среднее арифметическое корней:
$x_v = \frac{-5 + 0}{2} = -2.5$.
Найдем ординату вершины $y_v$, подставив $x_v = -2.5$ в уравнение функции:
$y_v = -(-2.5)^2 - 5(-2.5) = -6.25 + 12.5 = 6.25$.
Координаты вершины параболы: $(-2.5, 6.25)$.
5. Точка пересечения с осью ординат (Oy). Подставим $x = 0$ в уравнение:
$y = -0^2 - 5(0) = 0$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$, что совпадает с одной из точек пересечения с осью Ox.
Имея эти ключевые точки, строим график параболы.
Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вниз, вершиной в точке $(-2.5, 6.25)$ и пересекающая ось Ox в точках $(-5, 0)$ и $(0, 0)$.