Номер 157, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Построение графика квадратичной функции. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 157, страница 60.

Условие.

157. Найдите

а) наименьшее значение функции y = x² – 4x – 4;

б) наибольшее значение функции y = –x² – 4x + 5;

в) наименьшее значение функции y = x² – 6x – 6;

г) наибольшее значение функции y = –x² – 3x + 2.

Решение 1.

Решение 8.

157.

Для нахождения наименьшего или наибольшего значения квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ необходимо найти координаты ее вершины $(x_0, y_0)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Ордината вершины $y_0$ является искомым значением и находится подстановкой $x_0$ в уравнение функции: $y_0 = y(x_0)$.

• Если коэффициент $a > 0$, ветви параболы направлены вверх, и в вершине функция достигает своего наименьшего значения.
• Если коэффициент $a < 0$, ветви параболы направлены вниз, и в вершине функция достигает своего наибольшего значения.

а) Дана функция $y = x^2 - 4x - 4$.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -4$, $c = -4$. Так как $a = 1 > 0$, функция имеет наименьшее значение.

Находим абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

Подставляем $x_0 = 2$ в уравнение функции, чтобы найти наименьшее значение $y_0$:

$y_{наим} = (2)^2 - 4(2) - 4 = 4 - 8 - 4 = -8$.

Ответ: -8.

б) Дана функция $y = -x^2 - 4x + 5$.

Коэффициенты: $a = -1$, $b = -4$, $c = 5$. Так как $a = -1 < 0$, функция имеет наибольшее значение.

Находим абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{-2} = -2$.

Подставляем $x_0 = -2$ в уравнение функции, чтобы найти наибольшее значение $y_0$:

$y_{наиб} = -(-2)^2 - 4(-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$.

Ответ: 9.

в) Дана функция $y = x^2 - 6x - 6$.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -6$, $c = -6$. Так как $a = 1 > 0$, функция имеет наименьшее значение.

Находим абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.

Подставляем $x_0 = 3$ в уравнение функции, чтобы найти наименьшее значение $y_0$:

$y_{наим} = (3)^2 - 6(3) - 6 = 9 - 18 - 6 = -15$.

Ответ: -15.

г) Дана функция $y = -x^2 - 3x + 2$.

Коэффициенты: $a = -1$, $b = -3$, $c = 2$. Так как $a = -1 < 0$, функция имеет наибольшее значение.

Находим абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot (-1)} = \frac{3}{-2} = -1.5$.

Подставляем $x_0 = -1.5$ в уравнение функции, чтобы найти наибольшее значение $y_0$:

$y_{наиб} = -(-1.5)^2 - 3(-1.5) + 2 = -2.25 + 4.5 + 2 = 4.25$.

Ответ: 4.25.

---

158.

Чтобы выяснить, график какой из функций изображен на рисунке, проанализируем свойства графика и сравним их со свойствами каждой из предложенных функций: $y = x^2 + 6x$, $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x$, $y = -x^2 - 6$.

Анализ графика:

1. Направление ветвей: Ветви параболы направлены вверх, следовательно, коэффициент $a$ при $x^2$ должен быть положительным ($a > 0$). Это сразу исключает функцию $y = -x^2 - 6$, у которой $a = -1$.
2. Координаты вершины: Вершина параболы (ее самая низкая точка) находится в точке с координатами $(3, -4.5)$.
3. Пересечение с осями: График проходит через начало координат $(0, 0)$ и пересекает ось Ox в точках $x=0$ и $x=6$.

Проверка оставшихся функций:

1. $y = x^2 + 6x$

Коэффициент $a = 1 > 0$, что соответствует направлению ветвей. Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.

Абсцисса вершины $x_0 = -3$ не совпадает с абсциссой вершины на графике ($x = 3$). Следовательно, эта функция не подходит.

2. $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x$

Коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, что соответствует направлению ветвей. Найдем координаты вершины.

Абсцисса вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{3}{1} = 3$.

Ордината вершины:

$y_0 = \frac{1}{2}(3)^2 - 3(3) = \frac{1}{2} \cdot 9 - 9 = 4.5 - 9 = -4.5$.

Координаты вершины $(3, -4.5)$ полностью совпадают с вершиной на графике. Проверим также пересечение с осями. При $x=0$, $y=0$. Корни уравнения $\frac{1}{2}x^2 - 3x = 0$ или $x(\frac{1}{2}x-3)=0$ равны $x=0$ и $x=6$. Все свойства функции совпадают с графиком.

Ответ: На рисунке изображен график функции $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x$.