Номер 151, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Построение графика квадратичной функции. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 151, страница 59.

Условие.

151. Постройте график функции y = –x² + 2x + 8 и найдите, используя график:

а) значения функции при x = 2,5; –0,5; –3;

б) значения аргумента, при которых y = 6; 0; –2;

в) нули функции и промежутки знакопостоянства;

г) промежутки возрастания и убывания функции, множество значений функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для построения графика функции $y = -x^2 + 2x + 8$ определим ключевые точки. Это квадратичная функция, её график — парабола.

1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

2. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ находим по формулам:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$
$y_0 = -(1)^2 + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$
Вершина параболы находится в точке $(1, 9)$.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY (x=0): $y = -0^2 + 2 \cdot 0 + 8 = 8$. Точка пересечения — $(0, 8)$.
С осью OX (y=0): $-x^2 + 2x + 8 = 0$. Умножим на $-1$: $x^2 - 2x - 8 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$. Точки пересечения — $(-2, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Дополнительные точки. Для точности построения найдем еще пару симметричных точек. Ось симметрии параболы — прямая $x=1$. Точка $(0, 8)$ симметрична точке $(2, 8)$. Возьмем $x=3$:
$y = -(3)^2 + 2(3) + 8 = -9 + 6 + 8 = 5$. Точка $(3, 5)$.
Симметричная ей точка относительно оси $x=1$ будет $(-1, 5)$.

Используя эти точки — вершину $(1, 9)$, точки пересечения с осями $(-2, 0)$, $(4, 0)$, $(0, 8)$ и дополнительные точки $(2, 8)$, $(-1, 5)$, $(3, 5)$ — строим график параболы.

Теперь, используя график, найдем требуемые значения.

а) значения функции при $x=2,5; -0,5; -3$

Находим на оси ОХ заданные значения аргумента, проводим вертикальные линии до пересечения с графиком, а затем горизонтальные линии от этих точек до оси OY.
При $x = 2,5$ значение функции $y \approx 6,75$. (Точный расчет: $y = -(2,5)^2 + 2(2,5) + 8 = -6,25 + 5 + 8 = 6,75$).
При $x = -0,5$ значение функции $y \approx 6,75$. (Точный расчет: $y = -(-0,5)^2 + 2(-0,5) + 8 = -0,25 - 1 + 8 = 6,75$).
При $x = -3$ значение функции $y = -7$. (Точный расчет: $y = -(-3)^2 + 2(-3) + 8 = -9 - 6 + 8 = -7$).
Ответ: при $x=2,5$ $y=6,75$; при $x=-0,5$ $y=6,75$; при $x=-3$ $y=-7$.

б) значения аргумента, при которых $y = 6; 0; -2$

Находим на оси OY заданные значения функции, проводим горизонтальные линии до пересечения с графиком, а затем вертикальные линии от этих точек до оси OX.
При $y = 6$ аргумент $x$ принимает значения $x \approx -0,7$ и $x \approx 2,7$. (Точное решение: $6 = -x^2 + 2x + 8 \Rightarrow x^2 - 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{3}$).
При $y = 0$ аргумент $x$ принимает значения $x = -2$ и $x = 4$. Это нули функции.
При $y = -2$ аргумент $x$ принимает значения $x \approx -2,3$ и $x \approx 4,3$. (Точное решение: $-2 = -x^2 + 2x + 8 \Rightarrow x^2 - 2x - 10 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{11}$).
Ответ: $y=6$ при $x = 1 - \sqrt{3}$ и $x = 1 + \sqrt{3}$; $y=0$ при $x=-2$ и $x=4$; $y=-2$ при $x = 1 - \sqrt{11}$ и $x = 1 + \sqrt{11}$.

в) нули функции и промежутки знакопостоянства

Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$. Из графика видно, что это точки пересечения параболы с осью OX.
Нули функции: $x = -2$ и $x = 4$.
Промежутки знакопостоянства:
Функция положительна ($y>0$), когда график находится выше оси OX. Это происходит на интервале между нулями. $y>0$ при $x \in (-2; 4)$.
Функция отрицательна ($y<0$), когда график находится ниже оси OX. Это происходит на двух интервалах. $y<0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (4; \infty)$.
Ответ: нули функции: $x_1=-2, x_2=4$; $y>0$ при $x \in (-2; 4)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (4; \infty)$.

г) промежутки возрастания и убывания функции, множество значений функции

Промежутки возрастания и убывания определяются по вершине параболы $(1, 9)$.
Функция возрастает на промежутке, где график "идет вверх" (слева направо), то есть до вершины. Промежуток возрастания: $(-\infty; 1]$.
Функция убывает на промежутке, где график "идет вниз", то есть после вершины. Промежуток убывания: $[1; \infty)$.
Множество значений функции (область значений) — это все значения, которые может принимать $y$. Так как ветви параболы направлены вниз, а ее вершина находится в точке $(1, 9)$, максимальное значение функции равно 9.
Множество значений функции: $E(y) = (-\infty; 9]$.
Ответ: функция возрастает на $(-\infty; 1]$, убывает на $[1; \infty)$; множество значений функции $E(y) = (-\infty; 9]$.