Номер 154, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Построение графика квадратичной функции. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 154, страница 60.

Условие.

154. Постройте график функции:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 5$

Графиком данной функции является парабола. Для ее построения выполним следующие шаги:

1. Направление ветвей. Так как коэффициент при $x^2$ равен $a = -\frac{1}{2}$, что меньше нуля ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины. Абсцисса вершины параболы $(x_0, y_0)$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем уравнении $y = -\frac{1}{2}x^2 + 0 \cdot x + 5$, коэффициенты равны $a = -\frac{1}{2}$, $b = 0$, $c = 5$.

$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 0$.

Подставим $x_0 = 0$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины $y_0$:

$y_0 = -\frac{1}{2}(0)^2 + 5 = 5$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, 5)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 0$ (ось $Oy$).

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью $Oy$: при $x=0$, $y = 5$. Точка пересечения — $(0, 5)$, что совпадает с вершиной.

- С осью $Ox$: при $y=0$. Решим уравнение $-\frac{1}{2}x^2 + 5 = 0$.

$-\frac{1}{2}x^2 = -5 \implies x^2 = 10 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{10}$.

Точки пересечения с осью $Ox$: $(-\sqrt{10}, 0)$ и $(\sqrt{10}, 0)$, что примерно равно $(-3.16, 0)$ и $(3.16, 0)$.

4. Дополнительные точки. Найдем несколько точек для более точного построения, выбрав значения $x$ симметрично относительно оси $x=0$.

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$	3	4.5	5	4.5	3

При $x=2$: $y = -\frac{1}{2}(2)^2 + 5 = -2 + 5 = 3$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}x^2 + 5$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 5)$, ветвями, направленными вниз. Она пересекает ось $Ox$ в точках $(-\sqrt{10}, 0)$ и $(\sqrt{10}, 0)$ и проходит через симметричные точки $(-2, 3)$ и $(2, 3)$.

б) $y = x^2 - 4x$

Графиком данной функции является парабола. Для ее построения:

1. Направление ветвей. Коэффициент $a = 1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины. В уравнении $y = x^2 - 4x$ коэффициенты равны $a = 1$, $b = -4$, $c = 0$.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

Подставим $x_0 = 2$ в уравнение функции:

$y_0 = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$.

Вершина параболы находится в точке $(2, -4)$. Ось симметрии — прямая $x = 2$.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью $Oy$: при $x=0$, $y = 0^2 - 4(0) = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.

- С осью $Ox$: при $y=0$. Решим уравнение $x^2 - 4x = 0$.

$x(x - 4) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 4$.

Точки пересечения с осью $Ox$: $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Дополнительные точки. Составим таблицу значений для нескольких точек, симметричных относительно оси $x=2$.

$x$	0	1	2	3	4
$y$	0	-3	-4	-3	0

При $x=1$: $y = 1^2 - 4(1) = 1 - 4 = -3$. В силу симметрии, при $x=3$ значение $y$ будет таким же.

Ответ: График функции $y = x^2 - 4x$ — это парабола с вершиной в точке $(2, -4)$, ветвями, направленными вверх. Она проходит через точки $(0, 0)$, $(4, 0)$, $(1, -3)$ и $(3, -3)$.

в) $y = -x^2 + 6x - 9$

Графиком данной функции является парабола. Проанализируем ее.

1. Направление ветвей. Коэффициент $a = -1 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины. В уравнении $y = -x^2 + 6x - 9$ коэффициенты $a = -1$, $b = 6$, $c = -9$.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$.

Подставим $x_0 = 3$ в уравнение функции:

$y_0 = -(3)^2 + 6(3) - 9 = -9 + 18 - 9 = 0$.

Вершина параболы находится в точке $(3, 0)$. Ось симметрии — прямая $x = 3$.

Заметим, что выражение является полным квадратом: $y = -(x^2 - 6x + 9) = -(x-3)^2$. Из этой формы записи $y=a(x-h)^2+k$ сразу видны координаты вершины $(h, k) = (3, 0)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью $Oy$: при $x=0$, $y = -(0)^2 + 6(0) - 9 = -9$. Точка пересечения — $(0, -9)$.

- С осью $Ox$: при $y=0$. Уравнение $-(x-3)^2 = 0$ имеет один корень $x=3$. Точка пересечения $(3, 0)$ совпадает с вершиной. Это означает, что парабола касается оси $Ox$ в своей вершине.

4. Дополнительные точки. Найдем несколько точек для построения, симметричных относительно оси $x=3$.

$x$	1	2	3	4	5
$y$	-4	-1	0	-1	-4

При $x=2$: $y = -(2-3)^2 = -(-1)^2 = -1$.

При $x=1$: $y = -(1-3)^2 = -(-2)^2 = -4$.

Ответ: График функции $y = -x^2 + 6x - 9$ — это парабола с вершиной в точке $(3, 0)$, ветвями, направленными вниз. Парабола касается оси $Ox$ в своей вершине и пересекает ось $Oy$ в точке $(0, -9)$. Она также проходит через точки $(2, -1)$, $(4, -1)$, $(1, -4)$ и $(5, -4)$.