Номер 161, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Построение графика квадратичной функции. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 161, страница 60.

Условие.

161. Функции, графики которых изображены на рисунке 35, задаются уравнениями вида y = ax² + bx + c. Найдите значения коэффициентов a, b и c в каждом случае.

Решение 1.

Решение 8.

Для решения данной задачи необходимо видеть графики функций на рисунке 35, который не был предоставлен. Ниже приведено подробное объяснение общего метода нахождения коэффициентов $a$, $b$ и $c$ для квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$ по её графику, а также разбор гипотетических примеров.

Общий подход заключается в том, чтобы определить по графику координаты трех точек и составить систему из трех уравнений. Однако, если на графике легко определить вершину параболы, удобнее использовать вершинную форму уравнения: $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, где $(x_v, y_v)$ — координаты вершины.

Случай а)

Предположим, на одном из графиков изображена парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$, и график пересекает ось ординат в точке $(0, 3)$.

1. Определяем координаты вершины параболы: $(x_v, y_v) = (2, -1)$.

2. Записываем уравнение параболы в вершинной форме, подставив координаты вершины: $y = a(x - 2)^2 - 1$.

3. Для нахождения коэффициента $a$ используем другую точку, через которую проходит график. В нашем случае это точка пересечения с осью Y, $(0, 3)$.

4. Подставляем координаты точки $(0, 3)$ в уравнение и решаем его относительно $a$:

$3 = a(0 - 2)^2 - 1$
$3 = a(-2)^2 - 1$
$3 = 4a - 1$
$4a = 4$
$a = 1$

5. Теперь, зная $a$, приводим уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$, чтобы найти $b$ и $c$:

$y = 1 \cdot (x - 2)^2 - 1$
$y = (x^2 - 4x + 4) - 1$
$y = x^2 - 4x + 3$

Сравнивая полученное уравнение с общим видом, находим коэффициенты: $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$.

Ответ: $a = 1, b = -4, c = 3$.

Случай б)

Предположим, на другом графике изображена парабола с ветвями, направленными вниз. Её вершина находится в точке $(-1, 4)$, и она проходит через точку $(1, 0)$.

1. Координаты вершины параболы: $(x_v, y_v) = (-1, 4)$. Так как ветви направлены вниз, коэффициент $a$ должен быть отрицательным.

2. Уравнение параболы в вершинной форме: $y = a(x - (-1))^2 + 4$, что равносильно $y = a(x + 1)^2 + 4$.

3. Используем точку $(1, 0)$ для нахождения $a$.

4. Подставляем координаты точки $(1, 0)$ в уравнение:

$0 = a(1 + 1)^2 + 4$
$0 = a(2)^2 + 4$
$0 = 4a + 4$
$4a = -4$
$a = -1$

5. Приводим уравнение к стандартному виду:

$y = -1(x + 1)^2 + 4$
$y = -(x^2 + 2x + 1) + 4$
$y = -x^2 - 2x - 1 + 4$
$y = -x^2 - 2x + 3$

Таким образом, коэффициенты равны: $a = -1$, $b = -2$, $c = 3$.

Ответ: $a = -1, b = -2, c = 3$.