Номер 378, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Уравнение с двумя переменными и его график. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 378, страница 116.

Условие.

378. Дана окружность с центром в точке (5; 8) и радиусом, равным 4.

а) Составьте её уравнение.

б) Составьте уравнение окружностей, симметричных данной окружности относительно оси ординат; относительно оси абсцисс; относительно начала координат.

Решение 1.

Решение 8.

а) Составьте её уравнение.
Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $r$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$.
По условию задачи, центр окружности $C$ находится в точке с координатами $(5; 8)$, а радиус $r$ равен 4.
Подставим эти значения в формулу:
$x_0 = 5$
$y_0 = 8$
$r = 4$
Получаем уравнение:
$(x - 5)^2 + (y - 8)^2 = 4^2$
$(x - 5)^2 + (y - 8)^2 = 16$
Ответ: $(x - 5)^2 + (y - 8)^2 = 16$.

б) Составьте уравнение окружностей, симметричных данной окружности относительно оси ординат; относительно оси абсцисс; относительно начала координат.
При симметричном отображении окружности её радиус не изменяется, он остается равным 4. Изменяется только положение центра окружности. Исходный центр — точка $C(5; 8)$.

1. Симметрия относительно оси ординат (оси OY):
При симметрии относительно оси ординат точка с координатами $(x_0; y_0)$ отображается в точку с координатами $(-x_0; y_0)$. Следовательно, центр $C(5; 8)$ перейдет в новый центр $C_1(-5; 8)$.
Уравнение симметричной окружности имеет вид: $(x - (-5))^2 + (y - 8)^2 = 4^2$, что равносильно $(x + 5)^2 + (y - 8)^2 = 16$.

2. Симметрия относительно оси абсцисс (оси OX):
При симметрии относительно оси абсцисс точка с координатами $(x_0; y_0)$ отображается в точку с координатами $(x_0; -y_0)$. Следовательно, центр $C(5; 8)$ перейдет в новый центр $C_2(5; -8)$.
Уравнение симметричной окружности имеет вид: $(x - 5)^2 + (y - (-8))^2 = 4^2$, что равносильно $(x - 5)^2 + (y + 8)^2 = 16$.

3. Симметрия относительно начала координат:
При симметрии относительно начала координат точка с координатами $(x_0; y_0)$ отображается в точку с координатами $(-x_0; -y_0)$. Следовательно, центр $C(5; 8)$ перейдет в новый центр $C_3(-5; -8)$.
Уравнение симметричной окружности имеет вид: $(x - (-5))^2 + (y - (-8))^2 = 4^2$, что равносильно $(x + 5)^2 + (y + 8)^2 = 16$.

Ответ:
Уравнение окружности, симметричной данной относительно оси ординат: $(x + 5)^2 + (y - 8)^2 = 16$.
Уравнение окружности, симметричной данной относительно оси абсцисс: $(x - 5)^2 + (y + 8)^2 = 16$.
Уравнение окружности, симметричной данной относительно начала координат: $(x + 5)^2 + (y + 8)^2 = 16$.