Страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

401. Решите графически систему уравнений:

a)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} (x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 9, \\ y = x. \end{cases} $

Для решения системы графически необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точки их пересечения.

1. Первое уравнение $(x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 9$ — это уравнение окружности. Стандартный вид уравнения окружности: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $r$ — радиус. В нашем случае центр окружности находится в точке $O(4, 5)$, а радиус $r = \sqrt{9} = 3$.

2. Второе уравнение $y = x$ — это уравнение прямой. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов и проходит через начало координат. Для построения можно взять две точки, например, $(0, 0)$ и $(3, 3)$.

3. Построим графики в одной системе координат. Начертим окружность с центром в точке $(4, 5)$ и радиусом 3. Затем в этой же системе координат проведем прямую $y = x$.

Из графика видно, что прямая и окружность пересекаются в двух точках. Координаты этих точек и являются решениями системы. Однако, графический метод позволяет найти лишь приблизительные значения, так как точки пересечения не имеют целочисленных координат.

Для нахождения точных координат решим систему аналитически, подставив $y = x$ в уравнение окружности:
$(x - 4)^2 + (x - 5)^2 = 9$
$x^2 - 8x + 16 + x^2 - 10x + 25 = 9$
$2x^2 - 18x + 41 = 9$
$2x^2 - 18x + 32 = 0$
$x^2 - 9x + 16 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 81 - 64 = 17$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{17}}{2}$
Так как $y = x$, то координаты точек пересечения:
$x_1 = \frac{9 - \sqrt{17}}{2}, y_1 = \frac{9 - \sqrt{17}}{2}$
$x_2 = \frac{9 + \sqrt{17}}{2}, y_2 = \frac{9 + \sqrt{17}}{2}$

Ответ: $(\frac{9 - \sqrt{17}}{2}, \frac{9 - \sqrt{17}}{2}), (\frac{9 + \sqrt{17}}{2}, \frac{9 + \sqrt{17}}{2})$.

б)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y - x^2 = 0, \\ x + y = 6. \end{cases} $

Преобразуем уравнения для удобства построения графиков: $ \begin{cases} y = x^2, \\ y = -x + 6. \end{cases} $

1. Первое уравнение $y = x^2$ — это уравнение параболы. Вершина параболы находится в начале координат $(0, 0)$, ветви направлены вверх. Для построения можно использовать точки: $(0, 0), (1, 1), (-1, 1), (2, 4), (-2, 4), (3, 9), (-3, 9)$.

2. Второе уравнение $y = -x + 6$ — это уравнение прямой. Для ее построения достаточно двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат:
Если $x = 0$, то $y = 6$. Точка $(0, 6)$.
Если $y = 0$, то $x = 6$. Точка $(6, 0)$.

3. Построим графики параболы и прямой в одной системе координат.

Графики пересекаются в двух точках. Определим их координаты по чертежу.
Первая точка пересечения имеет координаты $(2, 4)$.
Вторая точка пересечения имеет координаты $(-3, 9)$.

Проверим найденные решения, подставив их в оба уравнения системы.
Для точки $(2, 4)$:
$4 = 2^2 \implies 4 = 4$ (верно)
$4 = -2 + 6 \implies 4 = 4$ (верно)
Для точки $(-3, 9)$:
$9 = (-3)^2 \implies 9 = 9$ (верно)
$9 = -(-3) + 6 \implies 9 = 3 + 6 \implies 9 = 9$ (верно)
Обе точки являются решениями системы.

Ответ: $(2, 4), (-3, 9)$.

402. Пересекаются ли графики уравнений x – y = –7 и x² + y² = 36? Найдите ответ графическим способом, а затем аналитическим.

Чтобы определить, пересекаются ли графики уравнений, нужно найти их общие точки. Это можно сделать двумя способами: графическим и аналитическим.

Графический способ

Первое уравнение $x - y = -7$ является линейным. Его можно переписать в виде $y = x + 7$. Графиком этого уравнения является прямая. Для ее построения найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = 7$. Точка $(0, 7)$.
• Если $x = -7$, то $y = 0$. Точка $(-7, 0)$.

Второе уравнение $x^2 + y^2 = 36$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{36} = 6$.

Построим эти графики в одной системе координат. Окружность проходит через точки $(6, 0)$, $(-6, 0)$, $(0, 6)$ и $(0, -6)$. Прямая проходит через точки $(-7, 0)$ и $(0, 7)$.

При построении может быть сложно точно определить, пересекаются ли графики. Для более точного графического анализа можно найти расстояние от центра окружности $(0, 0)$ до прямой $x - y + 7 = 0$. Формула расстояния от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ выглядит так: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

В нашем случае $A=1$, $B=-1$, $C=7$, а точка $(x_0, y_0) = (0, 0)$.

$d = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + 7|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|7|}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} \approx \frac{7}{1.414} \approx 4.95$

Радиус окружности равен $r = 6$. Поскольку расстояние от центра окружности до прямой ($d \approx 4.95$) меньше радиуса окружности ($r=6$), прямая пересекает окружность в двух точках.

Ответ: графики пересекаются.

Аналитический способ

Чтобы найти точки пересечения аналитически, нужно решить систему уравнений: $$ \begin{cases} x - y = -7 \\ x^2 + y^2 = 36 \end{cases} $$

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = x + 7$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $x^2 + (x + 7)^2 = 36$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение: $x^2 + (x^2 + 14x + 49) = 36$ $2x^2 + 14x + 49 - 36 = 0$ $2x^2 + 14x + 13 = 0$

Чтобы определить, есть ли у этого уравнения решения, найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 14^2 - 4 \cdot 2 \cdot 13 = 196 - 104 = 92$

Поскольку дискриминант $D = 92 > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что система уравнений имеет два решения, а значит, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: графики пересекаются.

403. Сколько общих точек имеют окружность и прямая, заданные соответственно уравнениями:

а) Чтобы найти количество общих точек, нужно решить систему, состоящую из уравнений окружности и прямой. Для этого подставим уравнение прямой $y = -2$ в уравнение окружности $(x - 6)^2 + (y + 4)^2 = 4$.

Получаем следующее уравнение:

$(x - 6)^2 + (-2 + 4)^2 = 4$

Выполним вычисления в скобках:

$(x - 6)^2 + (2)^2 = 4$

$(x - 6)^2 + 4 = 4$

Перенесем 4 в правую часть:

$(x - 6)^2 = 4 - 4$

$(x - 6)^2 = 0$

Это уравнение имеет только один корень:

$x - 6 = 0$

$x = 6$

Поскольку мы получили единственное решение для $x$ (при заданном $y = -2$), это означает, что прямая и окружность имеют только одну общую точку. Геометрически это означает, что прямая касается окружности в точке с координатами $(6, -2)$.

Ответ: 1 общая точка.

б) Аналогично первому пункту, подставим уравнение прямой $x = 7$ в уравнение окружности $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 9$.

Получаем уравнение:

$(7 - 3)^2 + (y - 2)^2 = 9$

Выполним вычисления в скобках:

$(4)^2 + (y - 2)^2 = 9$

$16 + (y - 2)^2 = 9$

Выразим $(y - 2)^2$:

$(y - 2)^2 = 9 - 16$

$(y - 2)^2 = -7$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Поскольку в левой части уравнения стоит квадрат выражения, а в правой — отрицательное число, данное уравнение не имеет действительных решений для $y$. Следовательно, у прямой и окружности нет общих точек.

Ответ: 0 общих точек.

404. Пересекаются ли окружность x² + y² = 9 и гипербола xy = –3? Если пересекаются, то сколько общих точек они имеют?

Для того чтобы определить, пересекаются ли окружность и гипербола, и найти количество точек пересечения, необходимо решить систему уравнений, задающих эти кривые:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ xy = -3\end{cases}$$

Из второго уравнения выразим y через x. Так как произведение xy не равно нулю, то и x не может быть равен нулю, поэтому деление на x допустимо.

$$ y = -\frac{3}{x} $$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$$ x^2 + \left(-\frac{3}{x}\right)^2 = 9 $$

$$ x^2 + \frac{9}{x^2} = 9 $$

Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя, так как мы уже установили, что $x \neq 0$:

$$ x^4 + 9 = 9x^2 $$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить биквадратное уравнение:

$$ x^4 - 9x^2 + 9 = 0 $$

Для решения этого уравнения введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Поскольку x — действительное число, $x^2$ не может быть отрицательным, следовательно, $t \ge 0$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно t:

$$ t^2 - 9t + 9 = 0 $$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью формулы корней. Сначала вычислим дискриминант (D):

$$ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 81 - 36 = 45 $$

Поскольку дискриминант $D = 45 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня для t.

$$ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{9 \pm 3\sqrt{5}}{2} $$

Мы получили два значения для t:

$$ t_1 = \frac{9 + 3\sqrt{5}}{2} \quad \text{и} \quad t_2 = \frac{9 - 3\sqrt{5}}{2} $$

Теперь нужно проверить, являются ли эти корни положительными, так как $t = x^2$.

Корень $t_1 = \frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}$ очевидно положителен, так как является суммой положительных чисел.

Для корня $t_2 = \frac{9 - 3\sqrt{5}}{2}$ проверим знак числителя. Сравним 9 и $3\sqrt{5}$. Возведем оба числа в квадрат: $9^2 = 81$ и $(3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$. Так как $81 > 45$, то $9 > 3\sqrt{5}$, и, следовательно, $9 - 3\sqrt{5} > 0$. Значит, корень $t_2$ также положителен.

Оба значения для t ($t_1$ и $t_2$) являются положительными. Это означает, что для каждого из них существуют действительные значения x.

Вернемся к замене $t=x^2$:

1. Уравнение $x^2 = t_1 = \frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}$ имеет два различных действительных корня: $x = \pm\sqrt{\frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}}$.

2. Уравнение $x^2 = t_2 = \frac{9 - 3\sqrt{5}}{2}$ также имеет два различных действительных корня: $x = \pm\sqrt{\frac{9 - 3\sqrt{5}}{2}}$.

Таким образом, мы получили четыре различных действительных значения для x. Каждому значению x соответствует единственное значение $y = -3/x$. Следовательно, система уравнений имеет четыре различных действительных решения, что соответствует четырем точкам пересечения графиков окружности и гиперболы.

Ответ: Да, окружность и гипербола пересекаются. Они имеют 4 общие точки.

405. Сколько общих точек имеют окружность и прямая:

Для того чтобы определить, сколько общих точек имеют окружность и прямая, необходимо найти количество решений соответствующей системы уравнений. Каждая общая точка соответствует одному решению системы. Мы решим каждую задачу методом подстановки, который приведет к квадратному уравнению. Количество действительных корней этого уравнения будет равно количеству общих точек.

а) Дана система уравнений: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ y = 2x + 3 \end{cases}$.

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (2x + 3)^2 = 9$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (4x^2 + 12x + 9) = 9$

$5x^2 + 12x + 9 - 9 = 0$

$5x^2 + 12x = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Для определения количества его корней найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$. В данном случае $a=5$, $b=12$, $c=0$.

$D = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot 0 = 144 - 0 = 144$

Поскольку $D > 0$ ($144 > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, окружность и прямая пересекаются в двух точках.

Ответ: 2.

б) Дана система уравнений: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 7 \\ y - 4x = 2 \end{cases}$.

Сначала выразим $y$ из второго уравнения: $y = 4x + 2$.

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + (4x + 2)^2 = 7$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 + (16x^2 + 16x + 4) = 7$

$17x^2 + 16x + 4 - 7 = 0$

$17x^2 + 16x - 3 = 0$

Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения, где $a=17$, $b=16$, $c=-3$:

$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 17 \cdot (-3) = 256 + 204 = 460$

Поскольку $D > 0$ ($460 > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что прямая и окружность имеют две общие точки.

Ответ: 2.

в) Дана система уравнений: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ y + 4x = -5 \end{cases}$.

Выразим $y$ из второго уравнения: $y = -4x - 5$.

Подставим полученное выражение в уравнение окружности:

$x^2 + (-4x - 5)^2 = 5$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (16x^2 + 40x + 25) = 5$

$17x^2 + 40x + 25 - 5 = 0$

$17x^2 + 40x + 20 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения, где $a=17$, $b=40$, $c=20$:

$D = b^2 - 4ac = 40^2 - 4 \cdot 17 \cdot 20 = 1600 - 1360 = 240$

Поскольку $D > 0$ ($240 > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня, а значит, окружность и прямая имеют две точки пересечения.

Ответ: 2.

406. Укажите три значения c, при которых прямая y = c и окружность x² + y² = 9: а) пересекаются; б) не имеют общих точек. При каких значениях с прямая касается окружности?

Данная задача рассматривает взаимное расположение прямой и окружности на координатной плоскости.

Уравнение окружности $x^2 + y^2 = 9$ описывает окружность с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$. Это означает, что все точки окружности находятся на расстоянии 3 от центра. Самая высокая точка окружности имеет координаты $(0, 3)$, а самая низкая — $(0, -3)$.

Уравнение $y = c$ задает горизонтальную прямую, все точки которой имеют ординату (координату y), равную $c$. Положение этой прямой зависит от значения параметра $c$.

Чтобы найти точки пересечения, мы можем подставить $y = c$ в уравнение окружности: $x^2 + c^2 = 9$ $x^2 = 9 - c^2$

Количество решений этого уравнения для $x$ определяет количество точек пересечения.

а) пересекаются

Прямая и окружность пересекаются в двух точках, если уравнение $x^2 = 9 - c^2$ имеет два различных действительных корня. Это возможно, когда правая часть уравнения положительна: $9 - c^2 > 0$ $c^2 < 9$ $-3 < c < 3$

Таким образом, прямая пересекает окружность, если она проходит между верхней и нижней точками окружности. Нужно указать три любых значения $c$ из интервала $(-3, 3)$.
Например, можно выбрать $c = -2$, $c = 0$, $c = 1$.

Ответ: $c = -2$, $c = 0$, $c = 1$.

б) не имеют общих точек

Прямая и окружность не имеют общих точек, если уравнение $x^2 = 9 - c^2$ не имеет действительных корней. Это происходит, когда правая часть уравнения отрицательна: $9 - c^2 < 0$ $c^2 > 9$ $c < -3$ или $c > 3$

Геометрически это означает, что прямая проходит либо выше самой высокой точки окружности (при $c > 3$), либо ниже самой низкой точки (при $c < -3$). Нужно указать три любых значения $c$, удовлетворяющих этому условию.
Например, можно выбрать $c = -5$, $c = 4$, $c = 10$.

Ответ: $c = -5$, $c = 4$, $c = 10$.

При каких значениях c прямая касается окружности?

Касание прямой и окружности означает, что они имеют ровно одну общую точку. Это соответствует случаю, когда уравнение $x^2 = 9 - c^2$ имеет ровно один корень. Это возможно, только если $x=0$, а значит правая часть уравнения равна нулю: $9 - c^2 = 0$ $c^2 = 9$ $c = 3$ или $c = -3$

Это соответствует двум горизонтальным касательным: $y = 3$ (касается окружности в верхней точке $(0, 3)$) и $y = -3$ (касается окружности в нижней точке $(0, -3)$).

Ответ: при $c = 3$ и $c = -3$.

407. Составьте уравнение, графиком которого является:

а) пара прямых y = 2x и y = –2x;

б) парабола y = x² и прямая y = –2.

а) Чтобы найти одно уравнение, графиком которого является объединение двух или более графиков, можно использовать следующий метод. Если графики заданы уравнениями $F_1(x, y) = 0$, $F_2(x, y) = 0$, ..., $F_n(x, y) = 0$, то уравнение, описывающее их объединение, будет иметь вид $F_1(x, y) \cdot F_2(x, y) \cdot ... \cdot F_n(x, y) = 0$. Это работает, потому что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

В данном случае нам дана пара прямых: $y = 2x$ и $y = -2x$.

Сначала представим каждое уравнение в виде $F(x, y) = 0$:

1. $y = 2x \quad \Rightarrow \quad y - 2x = 0$

2. $y = -2x \quad \Rightarrow \quad y + 2x = 0$

Теперь перемножим левые части этих уравнений и приравняем результат к нулю, чтобы получить искомое общее уравнение:

$(y - 2x)(y + 2x) = 0$

Это выражение является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Применим ее, где $a=y$ и $b=2x$:

$y^2 - (2x)^2 = 0$

$y^2 - 4x^2 = 0$

Таким образом, мы получили одно уравнение, графиком которого является пара заданных прямых.

Ответ: $y^2 - 4x^2 = 0$.

б) Используем тот же самый подход, что и в пункте а). Нам нужно составить уравнение, графиком которого является объединение параболы $y = x^2$ и прямой $y = -2$.

Представим оба уравнения в виде $F(x, y) = 0$:

1. Для параболы: $y = x^2 \quad \Rightarrow \quad y - x^2 = 0$

2. Для прямой: $y = -2 \quad \Rightarrow \quad y + 2 = 0$

Теперь составим общее уравнение, перемножив левые части и приравняв произведение к нулю:

$(y - x^2)(y + 2) = 0$

Это уравнение удовлетворяет условию. Оно обращается в ноль, если $y - x^2 = 0$ (что соответствует параболе $y = x^2$) или если $y + 2 = 0$ (что соответствует прямой $y = -2$). Раскрывать скобки в данном случае не обязательно, так как полученное уравнение в явном виде показывает, из каких графиков состоит итоговый график.

Ответ: $(y - x^2)(y + 2) = 0$.

408. При каком значении b пара чисел (18; 3) является решением системы уравнений

По условию задачи, пара чисел $(18; 3)$ является решением системы уравнений. Это означает, что если подставить значения $x = 18$ и $y = 3$ в каждое из уравнений системы, то должны получиться верные числовые равенства.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - 2y = 4b, \\ 2x + y = 39 \end{cases} $$

Чтобы найти неизвестный параметр $b$, подставим известные значения $x = 18$ и $y = 3$ в первое уравнение системы:
$x - 2y = 4b$
$18 - 2 \cdot 3 = 4b$

Выполним вычисления в левой части уравнения:
$18 - 6 = 4b$
$12 = 4b$

Теперь решим полученное уравнение относительно $b$, разделив обе части на 4:
$b = \frac{12}{4}$
$b = 3$

Для проверки убедимся, что пара чисел $(18; 3)$ также удовлетворяет второму уравнению системы:
$2x + y = 39$
$2 \cdot 18 + 3 = 39$
$36 + 3 = 39$
$39 = 39$
Равенство является верным. Таким образом, при $b = 3$ пара чисел $(18; 3)$ является решением данной системы.

Ответ: 3.

409. При каких значениях a решением системы уравнений является пара положительных чисел?

Чтобы найти значения параметра $a$, при которых решение системы уравнений является парой положительных чисел, необходимо сначала выразить $x$ и $y$ через $a$, а затем решить систему неравенств $x > 0$ и $y > 0$.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = a + 1, \\ 3x - y = a - 1 \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений:

$(x + y) + (3x - y) = (a + 1) + (a - 1)$

$4x = 2a$

Отсюда выразим $x$:

$x = \frac{2a}{4} = \frac{a}{2}$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$\frac{a}{2} + y = a + 1$

$y = a + 1 - \frac{a}{2}$

$y = \frac{2(a+1) - a}{2} = \frac{2a + 2 - a}{2} = \frac{a + 2}{2}$

Таким образом, решение системы имеет вид: $x = \frac{a}{2}$, $y = \frac{a + 2}{2}$.

Согласно условию задачи, $x$ и $y$ должны быть положительными числами. Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \end{cases} $

Подставим в нее полученные выражения для $x$ и $y$:

$ \begin{cases} \frac{a}{2} > 0 \\ \frac{a + 2}{2} > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство относительно $a$:

1) Из неравенства $\frac{a}{2} > 0$ следует, что $a > 0$.

2) Из неравенства $\frac{a + 2}{2} > 0$ следует, что $a + 2 > 0$, то есть $a > -2$.

Оба неравенства должны выполняться одновременно. Найдем пересечение полученных решений:

$ \begin{cases} a > 0 \\ a > -2 \end{cases} $

Общим решением системы неравенств является $a > 0$.

Ответ: решением системы является пара положительных чисел при $a > 0$, то есть при $a \in (0; +\infty)$.

410. Докажите, что при a › –1 выражение

принимает положительные значения при всех допустимых значениях а.

Для доказательства данного утверждения необходимо упростить выражение и проанализировать знак результата с учетом заданного условия $a > -1$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$. Знаменатели дробей и делитель не должны быть равны нулю.
1. $a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1$
2. $a + 1 \neq 0 \implies a \neq -1$
3. Делитель $\frac{4a}{5a-5} \neq 0 \implies 4a \neq 0 \implies a \neq 0$.
Таким образом, ОДЗ: $a \neq -1, a \neq 0, a \neq 1$.

Теперь упростим выражение по действиям.
1. Выполним вычитание дробей в скобках.
Приведем дроби к общему знаменателю $(a-1)(a+1)$:
$\frac{a+1}{a-1} - \frac{a-1}{a+1} = \frac{(a+1)(a+1)}{(a-1)(a+1)} - \frac{(a-1)(a-1)}{(a+1)(a-1)} = \frac{(a+1)^2 - (a-1)^2}{a^2-1}$
Применим к числителю формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$\frac{((a+1)-(a-1))((a+1)+(a-1))}{a^2-1} = \frac{(a+1-a+1)(a+1+a-1)}{a^2-1} = \frac{2 \cdot 2a}{a^2-1} = \frac{4a}{a^2-1}$

2. Выполним деление.
Результат первого действия разделим на дробь $\frac{4a}{5a-5}$:
$\frac{4a}{a^2-1} : \frac{4a}{5a-5} = \frac{4a}{a^2-1} \cdot \frac{5a-5}{4a}$
Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй, а затем сократим:
$\frac{4a}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{5(a-1)}{4a} = \frac{\cancel{4a} \cdot 5 \cdot \cancel{(a-1)}}{\cancel{(a-1)} \cdot (a+1) \cdot \cancel{4a}} = \frac{5}{a+1}$

3. Проанализируем знак полученного выражения.
В результате упрощения исходное выражение приняло вид $\frac{5}{a+1}$.
По условию задачи, $a > -1$.
Если к обеим частям этого неравенства прибавить 1, получим:
$a+1 > -1+1 \implies a+1 > 0$.
Знаменатель дроби $a+1$ является положительным числом. Числитель дроби равен 5, что также является положительным числом.
Отношение двух положительных чисел всегда положительно.
Следовательно, выражение $\frac{5}{a+1}$ принимает положительные значения при всех допустимых значениях $a$ из условия $a > -1$.

Ответ: Утверждение доказано. После упрощения выражение принимает вид $\frac{5}{a+1}$. При $a > -1$ знаменатель $a+1 > 0$, а числитель 5 положителен, поэтому все выражение принимает только положительные значения.

411. Из деревни в город, находящийся на расстоянии 72 км, отправился велосипедист. Спустя 15 мин навстречу ему из города выехал другой велосипедист, проезжающий в час на 2 км больше первого. Найдите, с какой скоростью ехал каждый из них, если известно, что они встретились в середине пути.

Пусть скорость первого велосипедиста, выехавшего из деревни, равна $x$ км/ч. По условию, скорость второго велосипедиста на 2 км/ч больше, следовательно, его скорость равна $(x + 2)$ км/ч.

Общее расстояние между деревней и городом составляет 72 км. Велосипедисты встретились на середине пути, значит, каждый из них проехал до встречи половину этого расстояния:

$S = \frac{72}{2} = 36$ км.

Время, которое затратил первый велосипедист на преодоление 36 км, составляет:

$t_1 = \frac{36}{x}$ часа.

Время, которое затратил второй велосипедист, составляет:

$t_2 = \frac{36}{x+2}$ часа.

Известно, что второй велосипедист выехал на 15 минут позже первого. Переведем 15 минут в часы:

$15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}.$

Это означает, что первый велосипедист был в пути на $\frac{1}{4}$ часа дольше, чем второй. На основе этого можно составить уравнение:

$t_1 - t_2 = \frac{1}{4}$

Подставим в уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{36}{x} - \frac{36}{x+2} = \frac{1}{4}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+2)$:

$\frac{36(x+2) - 36x}{x(x+2)} = \frac{1}{4}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{36x + 72 - 36x}{x^2 + 2x} = \frac{1}{4}$

$\frac{72}{x^2 + 2x} = \frac{1}{4}$

Применим правило пропорции ("крест-накрест"):

$1 \cdot (x^2 + 2x) = 72 \cdot 4$

$x^2 + 2x = 288$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 288 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-288) = 4 + 1152 = 1156$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{1156}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 34}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{-2 + 34}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$x_2 = \frac{-2 - 34}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -18$ не имеет физического смысла. Следовательно, скорость первого велосипедиста равна 16 км/ч.

Найдем скорость второго велосипедиста:

$x + 2 = 16 + 2 = 18$ км/ч.

Ответ: скорость первого велосипедиста — 16 км/ч, скорость второго велосипедиста — 18 км/ч.