Страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

420. Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найдите эти числа.

Пусть искомые числа — это $x$ и $y$. Согласно условию задачи, их сумма равна 12, а произведение — 35. Это можно записать в виде системы уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 12 \\ x \cdot y = 35 \end{cases} $

Эту задачу можно решить, составив квадратное уравнение. Согласно обратной теореме Виета, если два числа $t_1$ и $t_2$ в сумме дают $S$, а в произведении $P$, то они являются корнями квадратного уравнения $t^2 - St + P = 0$.

В нашем случае сумма $S = 12$ и произведение $P = 35$. Составим и решим соответствующее уравнение, чтобы найти эти числа:

$t^2 - 12t + 35 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{12 + \sqrt{4}}{2} = \frac{12 + 2}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$t_2 = \frac{12 - \sqrt{4}}{2} = \frac{12 - 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, искомые числа — это 5 и 7.

Выполним проверку:

Сумма: $5 + 7 = 12$.

Произведение: $5 \cdot 7 = 35$.

Условия задачи выполнены.

Ответ: 5 и 7.

421. Одно число на 7 больше другого, а их произведение равно –12. Найдите эти числа.

Пусть одно из чисел равно $x$. По условию, другое число на 7 больше, значит, оно равно $(x+7)$. Их произведение равно -12. Составим и решим уравнение.

$x \cdot (x + 7) = -12$

Раскроем скобки:

$x^2 + 7x = -12$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 7x + 12 = 0$

Решим это уравнение. Можно найти корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

Решение через дискриминант:

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=7$, $c=12$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$

Корни уравнения находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Мы получили два возможных значения для первого числа.

Теперь найдем второе число для каждого из случаев:

1. Если первое число равно -3, то второе число равно $-3 + 7 = 4$.
Проверка: $(-3) \cdot 4 = -12$. Это соответствует условию задачи.

2. Если первое число равно -4, то второе число равно $-4 + 7 = 3$.
Проверка: $(-4) \cdot 3 = -12$. Это также соответствует условию задачи.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две пары чисел.

Ответ: -3 и 4, или -4 и 3.

422. Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Согласно условию, периметр равен 28 см. Составим первое уравнение:
$2(a + b) = 28$
$a + b = 14$

Диагональ прямоугольника $d$, вместе с его сторонами $a$ и $b$, образует прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон: $d^2 = a^2 + b^2$. По условию, диагональ равна 10 см. Составим второе уравнение:
$a^2 + b^2 = 10^2$
$a^2 + b^2 = 100$

В результате мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} a + b = 14 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases}$

Для решения системы выразим одну переменную через другую из первого уравнения: $b = 14 - a$.
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
$a^2 + (14 - a)^2 = 100$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 14^2 - 2 \cdot 14 \cdot a + a^2 = 100$
$a^2 + 196 - 28a + a^2 = 100$
$2a^2 - 28a + 196 - 100 = 0$
$2a^2 - 28a + 96 = 0$

Чтобы упростить уравнение, разделим все его члены на 2:
$a^2 - 14a + 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: нам нужны два числа, сумма которых равна 14, а произведение равно 48. Этими числами являются 6 и 8, поскольку $6 + 8 = 14$ и $6 \cdot 8 = 48$.
Таким образом, корни уравнения: $a_1 = 6$ и $a_2 = 8$.

Если одна сторона прямоугольника $a = 6$ см, то вторая сторона $b = 14 - 6 = 8$ см.
Если же $a = 8$ см, то $b = 14 - 8 = 6$ см.
В обоих случаях мы получаем, что стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

Ответ: 6 см и 8 см.

423. Прямоугольный участок земли площадью 2400 м² обнесён изгородью, длина которой равна 200 м. Найдите длину и ширину этого участка.

Пусть длина прямоугольного участка равна a метров, а ширина – b метров.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Согласно условию задачи, площадь участка равна 2400 м?. Таким образом, мы получаем первое уравнение: $a \cdot b = 2400$

Длина изгороди, которой обнесён участок, является его периметром. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. По условию, периметр равен 200 м. Отсюда получаем второе уравнение: $2(a + b) = 200$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} a \cdot b = 2400 \\ 2(a + b) = 200 \end{cases} $$

Сначала упростим второе уравнение, разделив обе его части на 2: $a + b = \frac{200}{2}$
$a + b = 100$

Теперь выразим одну переменную через другую из этого уравнения. Например, выразим a: $a = 100 - b$

Подставим полученное выражение для a в первое уравнение системы: $(100 - b) \cdot b = 2400$

Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$: $100b - b^2 = 2400$
$b^2 - 100b + 2400 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$ :
$D = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2400 = 10000 - 9600 = 400$
Корень из дискриминанта равен $\sqrt{400} = 20$.

Найдем корни уравнения, которые будут являться возможными значениями для одной из сторон участка (b):
$b_1 = \frac{-(-100) - 20}{2 \cdot 1} = \frac{80}{2} = 40$
$b_2 = \frac{-(-100) + 20}{2 \cdot 1} = \frac{120}{2} = 60$

Теперь найдем соответствующие значения для второй стороны (a), используя соотношение $a = 100 - b$:
1. Если $b = 40$ м, то $a = 100 - 40 = 60$ м.
2. Если $b = 60$ м, то $a = 100 - 60 = 40$ м.

В обоих случаях размеры участка составляют 40 м и 60 м. Принято считать длиной большую сторону, а шириной – меньшую.

Проверка:
Площадь: $S = 60 \text{ м} \cdot 40 \text{ м} = 2400 \text{ м}^2$.
Периметр: $P = 2(60 \text{ м} + 40 \text{ м}) = 2 \cdot 100 \text{ м} = 200 \text{ м}$.
Оба значения соответствуют условиям задачи.

Ответ: длина участка 60 м, ширина 40 м.

424. Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см, а его гипотенуза равна 37 см. Найдите площадь этого треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

Периметр $P$ треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, он равен 84 см. $P = a + b + c = 84$ см

Гипотенуза $c$ равна 37 см. Подставим это значение в формулу периметра, чтобы найти сумму катетов $a + b$: $a + b + 37 = 84$ $a + b = 84 - 37$ $a + b = 47$ см

Площадь $S$ прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}ab$

Чтобы найти произведение катетов $ab$, воспользуемся связью между суммой катетов и теоремой Пифагора. Возведем в квадрат выражение для суммы катетов: $(a + b)^2 = 47^2$ $a^2 + 2ab + b^2 = 2209$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: $a^2 + b^2 = c^2$ $a^2 + b^2 = 37^2 = 1369$

Теперь подставим значение $a^2 + b^2$ в раскрытое выражение квадрата суммы: $(a^2 + b^2) + 2ab = 2209$ $1369 + 2ab = 2209$

Найдем отсюда значение $2ab$: $2ab = 2209 - 1369$ $2ab = 840$

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника $S$: $S = \frac{1}{2}ab = \frac{2ab}{4} = \frac{840}{4} = 210$ Или, найдя $ab = \frac{840}{2} = 420$, подставить в формулу площади: $S = \frac{1}{2} \cdot 420 = 210$ см².

Ответ: 210 см².

425. Из некоторого пункта вышли одновременно два отряда. Один направился на север, а другой — на восток. Спустя 4 ч расстояние между отрядами было равно 24 км, причём первый отряд прошёл на 4,8 км больше, чем второй. С какой скоростью шёл каждый отряд?

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго отрядов соответственно, а $s_1$ и $s_2$ — расстояния, которые они прошли за время $t = 4$ часа.

Первый отряд двигался на север, а второй — на восток. Их пути представляют собой катеты прямоугольного треугольника. Расстояние между отрядами через 4 часа, равное 24 км, является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора можно составить уравнение:

$s_1^2 + s_2^2 = 24^2$

$s_1^2 + s_2^2 = 576$

По условию задачи, первый отряд прошёл на 4,8 км больше, чем второй. Это даёт нам второе уравнение:

$s_1 = s_2 + 4.8$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $s_1$ из второго уравнения в первое:

$(s_2 + 4.8)^2 + s_2^2 = 576$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $s_2$:

$s_2^2 + 2 \cdot s_2 \cdot 4.8 + 4.8^2 + s_2^2 = 576$

$s_2^2 + 9.6s_2 + 23.04 + s_2^2 = 576$

$2s_2^2 + 9.6s_2 - 552.96 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2, чтобы упростить его:

$s_2^2 + 4.8s_2 - 276.48 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (4.8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-276.48) = 23.04 + 1105.92 = 1128.96$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1128.96} = 33.6$.

Теперь найдем корни уравнения для $s_2$ по формуле $s_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$s_{2,1} = \frac{-4.8 + 33.6}{2} = \frac{28.8}{2} = 14.4$

$s_{2,2} = \frac{-4.8 - 33.6}{2} = \frac{-38.4}{2} = -19.2$

Так как расстояние не может быть отрицательным, расстояние, которое прошёл второй отряд, составляет $s_2 = 14.4$ км.

Теперь можно найти расстояние, пройденное первым отрядом:

$s_1 = s_2 + 4.8 = 14.4 + 4.8 = 19.2$ км.

Зная, что время в пути составляет 4 часа, мы можем вычислить скорости каждого отряда по формуле $v = s / t$.

Скорость первого отряда (шедшего на север):

$v_1 = \frac{s_1}{t} = \frac{19.2 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 4.8$ км/ч.

Скорость второго отряда (шедшего на восток):

$v_2 = \frac{s_2}{t} = \frac{14.4 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 3.6$ км/ч.

Ответ: скорость первого отряда — 4,8 км/ч, скорость второго отряда — 3,6 км/ч.

426. От вершины прямого угла по его сторонам начинают одновременно двигаться два тела. Через 15 с расстояние между ними стало равно 3 м. С какой скоростью двигалось каждое тело, если известно, что первое прошло за 6 с такое же расстояние, какое второе прошло за 8 с?

Пусть $v_1$ — скорость первого тела, а $v_2$ — скорость второго тела. Мы будем измерять скорость в метрах в секунду (м/с).

Два тела движутся по сторонам прямого угла, начиная от его вершины. Это означает, что их траектории перпендикулярны друг другу. Через время $t = 15$ с первое тело пройдет расстояние $s_1 = v_1 \cdot t = 15v_1$, а второе тело — расстояние $s_2 = v_2 \cdot t = 15v_2$.

Расстояния $s_1$ и $s_2$ являются катетами прямоугольного треугольника, а расстояние $d$ между телами — его гипотенузой. По теореме Пифагора: $s_1^2 + s_2^2 = d^2$

Подставим известные значения $t = 15$ с и $d = 3$ м в это уравнение: $(15v_1)^2 + (15v_2)^2 = 3^2$ $225v_1^2 + 225v_2^2 = 9$

Разделим обе части уравнения на 225: $v_1^2 + v_2^2 = \frac{9}{225}$ $v_1^2 + v_2^2 = \frac{1}{25}$ Это наше первое уравнение.

Из второго условия задачи известно, что первое тело прошло за 6 с такое же расстояние, какое второе прошло за 8 с. Запишем это в виде равенства: $v_1 \cdot 6 = v_2 \cdot 8$ $6v_1 = 8v_2$

Упростим это выражение, разделив обе части на 2, и выразим одну скорость через другую: $3v_1 = 4v_2$ $v_1 = \frac{4}{3}v_2$ Это наше второе уравнение.

Теперь подставим выражение для $v_1$ из второго уравнения в первое: $(\frac{4}{3}v_2)^2 + v_2^2 = \frac{1}{25}$ $\frac{16}{9}v_2^2 + v_2^2 = \frac{1}{25}$

Приведем подобные слагаемые в левой части: $(\frac{16}{9} + 1)v_2^2 = \frac{1}{25}$ $(\frac{16}{9} + \frac{9}{9})v_2^2 = \frac{1}{25}$ $\frac{25}{9}v_2^2 = \frac{1}{25}$

Найдем $v_2^2$: $v_2^2 = \frac{1}{25} \cdot \frac{9}{25} = \frac{9}{625}$

Поскольку скорость — величина положительная, извлечем квадратный корень: $v_2 = \sqrt{\frac{9}{625}} = \frac{3}{25} = 0,12$ м/с.

Теперь найдем скорость первого тела $v_1$, используя соотношение $v_1 = \frac{4}{3}v_2$: $v_1 = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{25} = \frac{4}{25} = 0,16$ м/с.

Ответ: скорость первого тела равна 0,16 м/с, а скорость второго тела — 0,12 м/с.