Страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

412. Не решая систему уравнений, выясните, имеет ли система решения и если имеет, то сколько:

Для определения количества решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными вида$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $, не решая её, достаточно сравнить отношения коэффициентов при переменных и свободных членов.

• Если отношение коэффициентов при $x$ не равно отношению коэффициентов при $y$, то есть $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, то система имеет единственное решение. Геометрически это означает, что прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной точке.
• Если отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов, то есть $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, то система не имеет решений. Геометрически это означает, что прямые параллельны и не совпадают.
• Если все три отношения равны, то есть $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, то система имеет бесконечно много решений. Геометрически это означает, что прямые совпадают.

Применим этот метод к каждой из систем.

а) Дана система $\begin{cases} 2x + 3y = 4 \\ 3x + 2y = 2 \end{cases}$.
Здесь $a_1=2, b_1=3, a_2=3, b_2=2$.
Сравним отношения коэффициентов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}$ и $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{2}$.
Так как $\frac{2}{3} \neq \frac{3}{2}$, то система имеет единственное решение.

Ответ: система имеет одно решение.

б) Дана система $\begin{cases} 2x + 3y = 4 \\ 4x + 6y = 2 \end{cases}$.
Здесь $a_1=2, b_1=3, c_1=4$ и $a_2=4, b_2=6, c_2=2$.
Найдем отношения коэффициентов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{4}{2} = 2$.
Так как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ (поскольку $\frac{1}{2} \neq 2$), система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

в) Дана система $\begin{cases} 3x - 6y = 2 \\ -x + 2y = -1 \end{cases}$.
Здесь $a_1=3, b_1=-6, c_1=2$ и $a_2=-1, b_2=2, c_2=-1$.
Найдем отношения коэффициентов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{-1} = -3$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-6}{2} = -3$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{-1} = -2$.
Так как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ (поскольку $-3 \neq -2$), система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

г) Дана система $\begin{cases} 2x = 5 \\ 3x + 2y = 2 \end{cases}$.
Первое уравнение можно записать в виде $2x + 0y = 5$.
Тогда $a_1=2, b_1=0, a_2=3, b_2=2$.
Сравним отношения коэффициентов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}$ и $\frac{b_1}{b_2} = \frac{0}{2} = 0$.
Так как $\frac{2}{3} \neq 0$, система имеет единственное решение.

Ответ: система имеет одно решение.

д) Дана система $\begin{cases} 3y = 4 \\ 4x + 6y = 1 \end{cases}$.
Первое уравнение можно записать в виде $0x + 3y = 4$.
Тогда $a_1=0, b_1=3, a_2=4, b_2=6$.
Сравним отношения коэффициентов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{0}{4} = 0$ и $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Так как $0 \neq \frac{1}{2}$, система имеет единственное решение.

Ответ: система имеет одно решение.

е) Дана система $\begin{cases} 3x + 5y = -6 \\ 9x + 15y = -18 \end{cases}$.
Здесь $a_1=3, b_1=5, c_1=-6$ и $a_2=9, b_2=15, c_2=-18$.
Найдем отношения коэффициентов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-6}{-18} = \frac{1}{3}$.
Так как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

413. Определите число решений системы уравнений:

Для определения числа решений системы линейных уравнений вида $\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0 \end{cases}$ анализируют соотношения их коэффициентов. Существует три возможных случая:

1. Если отношение коэффициентов при $x$ не равно отношению коэффициентов при $y$, то есть $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, система имеет одно единственное решение. Графически это означает, что прямые пересекаются в одной точке.

2. Если отношения коэффициентов при $x$ и $y$ равны, но не равны отношению свободных членов, то есть $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, система не имеет решений. Графически это означает, что прямые параллельны и не совпадают.

3. Если отношения всех коэффициентов равны, то есть $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, система имеет бесконечно много решений. Графически это означает, что прямые совпадают.

а) Рассматриваем систему:

$\begin{cases} 2x + 2y + 7 = 0 \\ 10x - 4y + 14 = 0 \end{cases}$

Коэффициенты уравнений: $a_1 = 2, b_1 = 2, c_1 = 7$ и $a_2 = 10, b_2 = -4, c_2 = 14$.

Сравним отношения коэффициентов при $x$ и $y$:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$

Поскольку $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (так как $\frac{1}{5} \neq -\frac{1}{2}$), система имеет одно решение.

Ответ: одно решение.

б) Рассматриваем систему:

$\begin{cases} x + 3y + 6 = 0 \\ 10x + 30y + 60 = 0 \end{cases}$

Коэффициенты уравнений: $a_1 = 1, b_1 = 3, c_1 = 6$ и $a_2 = 10, b_2 = 30, c_2 = 60$.

Сравним отношения всех коэффициентов:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{10}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}$

Поскольку $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: бесконечно много решений.

в) Рассматриваем систему:

$\begin{cases} 8x - 4y - 15 = 0 \\ 10x - 5y - 28 = 0 \end{cases}$

Коэффициенты уравнений: $a_1 = 8, b_1 = -4, c_1 = -15$ и $a_2 = 10, b_2 = -5, c_2 = -28$.

Сравним отношения коэффициентов:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{-5} = \frac{4}{5}$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-15}{-28} = \frac{15}{28}$

Поскольку $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ (так как $\frac{4}{5} \neq \frac{15}{28}$), система не имеет решений.

Ответ: нет решений.