Страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

414. Известно одно уравнение системы двух линейных уравнений с двумя переменными 3x – 2y = 1. Подберите второе уравнение так, чтобы система:

а) имела единственное решение;

б) не имела решений;

в) имела бесчисленное множество решений.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными в общем виде:
$a_1x + b_1y = c_1$
$a_2x + b_2y = c_2$
Количество решений такой системы зависит от соотношения коэффициентов. Нам дано первое уравнение $3x - 2y = 1$, в котором $a_1 = 3$, $b_1 = -2$ и $c_1 = 1$. Подберем второе уравнение $a_2x + b_2y = c_2$ для каждого из трех случаев.

Система имеет единственное решение, если графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны. Алгебраически это условие выражается как непропорциональность коэффициентов при переменных $x$ и $y$:
$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
Подставим известные нам значения $a_1=3$ и $b_1=-2$:
$\frac{3}{a_2} \neq \frac{-2}{b_2}$
Нам нужно выбрать такие $a_2$ и $b_2$, чтобы это неравенство выполнялось. Самый простой способ — выбрать коэффициенты, которые не кратны исходным. Например, пусть $a_2 = 1$ и $b_2 = 1$. Проверим условие:
$\frac{3}{1} \neq \frac{-2}{1}$, или $3 \neq -2$. Это верное неравенство.
Коэффициент $c_2$ может быть любым. Возьмем, к примеру, $c_2 = 5$. Таким образом, второе уравнение может быть $x + y = 5$.
Ответ: Например, $x + y = 5$.

Система не имеет решений, если графики уравнений (прямые) параллельны и не совпадают. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны, а точки пересечения с осями координат различны. Алгебраически это условие выглядит так: коэффициенты при переменных $x$ и $y$ пропорциональны, но они не пропорциональны свободным членам:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
Подставим известные нам значения $a_1=3$, $b_1=-2$, $c_1=1$:
$\frac{3}{a_2} = \frac{-2}{b_2} \neq \frac{1}{c_2}$
Чтобы левая часть равенства выполнялась, $a_2$ и $b_2$ должны быть пропорциональны $a_1$ и $b_1$. Возьмем коэффициент пропорциональности, например, $k=2$. Тогда:
$a_2 = a_1 \cdot k = 3 \cdot 2 = 6$
$b_2 = b_1 \cdot k = -2 \cdot 2 = -4$
При этом отношение коэффициентов равно $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$. Теперь нам нужно подобрать $c_2$ так, чтобы выполнялось неравенство $\frac{c_1}{c_2} \neq \frac{1}{2}$, то есть $\frac{1}{c_2} \neq \frac{1}{2}$, откуда $c_2 \neq 2$. Мы можем выбрать любое значение для $c_2$, кроме 2. Например, пусть $c_2 = 3$. Тогда второе уравнение будет $6x - 4y = 3$.
Ответ: Например, $6x - 4y = 3$.

Система имеет бесчисленное множество решений, если оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Это означает, что все коэффициенты второго уравнения пропорциональны соответствующим коэффициентам первого уравнения:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
Подставим известные нам значения $a_1=3$, $b_1=-2$, $c_1=1$:
$\frac{3}{a_2} = \frac{-2}{b_2} = \frac{1}{c_2}$
Чтобы это условие выполнялось, второе уравнение должно быть получено из первого умножением на некоторое ненулевое число $k$. Выберем, например, $k=3$.
$3 \cdot (3x - 2y) = 3 \cdot 1$
$9x - 6y = 3$
Здесь $a_2=9$, $b_2=-6$, $c_2=3$. Проверим равенство отношений: $\frac{3}{9} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$. Все отношения равны $\frac{1}{3}$. Условие выполняется.
Ответ: Например, $9x - 6y = 3$.

415. Дана система уравнений

Подберите такое число k, чтобы система имела единственное решение. Существует ли такое значение k, при котором данная система не имеет решения; имеет бесконечное множество решений?

Для анализа системы линейных уравнений вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ необходимо сравнить отношения коэффициентов при переменных и свободных членов.

В нашей системе $\begin{cases} kx + 4y = 6 \\ 5x + 8y = 3 \end{cases}$ коэффициенты равны: $a_1 = k$, $b_1 = 4$, $c_1 = 6$ и $a_2 = 5$, $b_2 = 8$, $c_2 = 3$.

чтобы система имела единственное решение.
Система имеет единственное решение, если отношение коэффициентов при $x$ не равно отношению коэффициентов при $y$, то есть графики уравнений (прямые) пересекаются.
Это соответствует условию: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.
Подставим наши значения:
$\frac{k}{5} \neq \frac{4}{8}$
$\frac{k}{5} \neq \frac{1}{2}$
$k \neq \frac{5}{2}$
$k \neq 2.5$
Таким образом, система будет иметь единственное решение при любом значении $k$, кроме $2.5$. В задании просят подобрать такое число, например, можно взять $k=1$.
Ответ: система будет иметь единственное решение при любом значении $k$, кроме $k=2.5$. Например, при $k=1$.

Существует ли такое значение k, при котором данная система не имеет решения;
Система не имеет решений, если отношения коэффициентов при переменных равны между собой, но не равны отношению свободных членов. Геометрически это означает, что прямые параллельны, но не совпадают.
Это соответствует условию: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.
Найдем $k$, при котором выполняется первая часть равенства:
$\frac{k}{5} = \frac{4}{8} \Rightarrow \frac{k}{5} = \frac{1}{2} \Rightarrow k = 2.5$.
Теперь проверим вторую часть условия (неравенство) при этом значении $k$:
$\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
$\frac{4}{8} \neq \frac{6}{3}$
$\frac{1}{2} \neq 2$
Это неравенство верно. Следовательно, при $k=2.5$ система не будет иметь решений.
Ответ: да, существует. При $k=2.5$ система не имеет решений.

имеет бесконечное множество решений?
Система имеет бесконечное множество решений, если все три отношения равны. Геометрически это означает, что прямые совпадают.
Это соответствует условию: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
Из предыдущего пункта мы знаем, что $\frac{b_1}{b_2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$, а $\frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{3} = 2$.
Поскольку $\frac{1}{2} \neq 2$, условие $\frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ никогда не выполняется.
Следовательно, не существует такого значения $k$, при котором система имела бы бесконечное множество решений.
Ответ: нет, такого значения $k$ не существует.

416. В системе уравнений

подберите такие значения коэффициентов k и m, чтобы система:

а) не имела решений;

б) имела бесчисленное множество решений;

в) имела единственное решение.

Для анализа количества решений системы линейных уравнений вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ необходимо сравнить отношения их коэффициентов. Геометрически каждое уравнение представляет собой прямую на плоскости, а количество решений системы соответствует количеству точек пересечения этих прямых.

• Система имеет единственное решение (прямые пересекаются), если отношение коэффициентов при переменных не равно: $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $.
• Система не имеет решений (прямые параллельны и не совпадают), если отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $.
• Система имеет бесчисленное множество решений (прямые совпадают), если все отношения равны: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $.

В данной системе $ \begin{cases} 4x - 5y = 8 \\ kx + 15y = m \end{cases} $ коэффициенты равны:

$ a_1 = 4, b_1 = -5, c_1 = 8 $

$ a_2 = k, b_2 = 15, c_2 = m $

Составим отношения коэффициентов для анализа:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{k} $

$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-5}{15} = -\frac{1}{3} $

$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{8}{m} $

Теперь рассмотрим каждый случай.

а) не имела решений;

Чтобы система не имела решений, должно выполняться условие $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $. Подставим значения коэффициентов:

$ \frac{4}{k} = -\frac{1}{3} $ и $ -\frac{1}{3} \neq \frac{8}{m} $.

Из первого равенства находим значение $ k $:

$ 4 \cdot 3 = -1 \cdot k \implies 12 = -k \implies k = -12 $.

Из второго неравенства находим условие для $ m $:

$ -m \neq 3 \cdot 8 \implies -m \neq 24 \implies m \neq -24 $.

Таким образом, система не имеет решений при $ k = -12 $ и любом значении $ m $, не равном $ -24 $.

Ответ: $ k = -12, m \neq -24 $.

б) имела бесчисленное множество решений;

Чтобы система имела бесчисленное множество решений, должно выполняться условие $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $. Подставим значения:

$ \frac{4}{k} = -\frac{1}{3} = \frac{8}{m} $.

Это условие эквивалентно системе двух уравнений:

1) $ \frac{4}{k} = -\frac{1}{3} \implies k = -12 $.

2) $ -\frac{1}{3} = \frac{8}{m} \implies -m = 3 \cdot 8 \implies m = -24 $.

Следовательно, система имеет бесконечное множество решений, когда $ k = -12 $ и $ m = -24 $.

Ответ: $ k = -12, m = -24 $.

в) имела единственное решение.

Чтобы система имела единственное решение, должно выполняться условие $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $. Подставим значения:

$ \frac{4}{k} \neq -\frac{1}{3} $.

Решим это неравенство относительно $ k $:

$ 4 \cdot 3 \neq -1 \cdot k \implies 12 \neq -k \implies k \neq -12 $.

Это условие зависит только от коэффициентов при переменных $ x $ и $ y $. Коэффициент $ m $ может быть любым действительным числом, так как он не влияет на наклон прямых.

Таким образом, система имеет единственное решение при любом значении $ k $, не равном $ -12 $, и любом значении $ m $.

Ответ: $ k \neq -12 $, $ m $ — любое число.

417. Известно, что точка В(2; –1) принадлежит графику функции y = f(x). Найдите k, если:

а) f(x) = kx + 1;

б) f(x) = 2x + k.

Поскольку точка $B(2; -1)$ принадлежит графику функции $y = f(x)$, ее координаты удовлетворяют уравнению функции. Это означает, что при подстановке $x = 2$ в уравнение функции, значение $y$ (или $f(x)$) должно быть равно $-1$.

а)

Дана функция $f(x) = kx + 1$, что соответствует уравнению $y = kx + 1$. Подставим координаты точки $B(2; -1)$ в это уравнение, то есть $x=2$ и $y=-1$:

$-1 = k \cdot 2 + 1$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно переменной $k$:

$2k = -1 - 1$

$2k = -2$

$k = \frac{-2}{2}$

$k = -1$

Ответ: $k = -1$.

б)

Дана функция $f(x) = 2x + k$, что соответствует уравнению $y = 2x + k$. Подставим координаты точки $B(2; -1)$ в это уравнение, то есть $x=2$ и $y=-1$:

$-1 = 2 \cdot 2 + k$

Теперь решим полученное уравнение относительно $k$:

$-1 = 4 + k$

$k = -1 - 4$

$k = -5$

Ответ: $k = -5$.

418. Найдите координаты точки пересечения графиков функций:

а) Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций $y = 5x - 7$ и $y = 3x + 1$, необходимо решить систему этих уравнений. В точке пересечения значения $x$ и $y$ для обоих графиков совпадают, поэтому мы можем приравнять правые части уравнений:
$5x - 7 = 3x + 1$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую:
$5x - 3x = 1 + 7$
$2x = 8$
$x = \frac{8}{2} = 4$
Мы нашли абсциссу (координату $x$) точки пересечения. Для нахождения ординаты (координаты $y$) подставим найденное значение $x = 4$ в любое из исходных уравнений. Возьмем второе уравнение $y = 3x + 1$:
$y = 3 \cdot 4 + 1 = 12 + 1 = 13$
Таким образом, координаты точки пересечения графиков: $(4, 13)$.
Ответ: $(4, 13)$.

б) Даны функции $y = -3x - 2$ и $y = 8x - 9$. Чтобы найти координаты их точки пересечения, приравняем выражения для $y$:
$-3x - 2 = 8x - 9$
Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:
$9 - 2 = 8x + 3x$
$7 = 11x$
$x = \frac{7}{11}$
Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = \frac{7}{11}$ в одно из уравнений. Используем второе уравнение $y = 8x - 9$:
$y = 8 \cdot \frac{7}{11} - 9 = \frac{56}{11} - \frac{9 \cdot 11}{11} = \frac{56 - 99}{11} = -\frac{43}{11}$
Координаты точки пересечения: $(\frac{7}{11}, -\frac{43}{11})$.
Ответ: $(\frac{7}{11}, -\frac{43}{11})$.

в) Даны функции $y = 0,4x - 5$ и $y = -0,1x - 3$. Для нахождения точки пересечения их графиков приравняем правые части уравнений:
$0,4x - 5 = -0,1x - 3$
Решим полученное уравнение относительно $x$:
$0,4x + 0,1x = 5 - 3$
$0,5x = 2$
$x = \frac{2}{0,5} = 4$
Теперь найдем координату $y$, подставив $x = 4$ в первое уравнение $y = 0,4x - 5$:
$y = 0,4 \cdot 4 - 5 = 1,6 - 5 = -3,4$
Координаты точки пересечения: $(4, -3,4)$.
Ответ: $(4, -3,4)$.

г) Даны функции $y = 23x - 6$ и $y = -2x + 9$. Приравниваем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу точки пересечения:
$23x - 6 = -2x + 9$
Решаем уравнение для $x$:
$23x + 2x = 9 + 6$
$25x = 15$
$x = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$
Найдем ординату $y$, подставив значение $x = \frac{3}{5}$ во второе уравнение $y = -2x + 9$:
$y = -2 \cdot \frac{3}{5} + 9 = -\frac{6}{5} + \frac{45}{5} = \frac{39}{5}$
Координаты точки пересечения: $(\frac{3}{5}, \frac{39}{5})$. Это также можно записать в виде десятичных дробей: $(0.6, 7.8)$.
Ответ: $(\frac{3}{5}, \frac{39}{5})$.

д) Даны функции $y = 98x$ и $y = -102x - 3$. Приравниваем правые части:
$98x = -102x - 3$
Решаем уравнение для $x$:
$98x + 102x = -3$
$200x = -3$
$x = -\frac{3}{200}$
Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение $y = 98x$:
$y = 98 \cdot (-\frac{3}{200}) = -\frac{98 \cdot 3}{200} = -\frac{294}{200} = -\frac{147}{100} = -1,47$
Координаты точки пересечения: $(-\frac{3}{200}, -1,47)$.
Ответ: $(-\frac{3}{200}, -1,47)$.

е) Даны функции $y = -3$ и $y = 36x + 1$. Первая функция — это горизонтальная прямая, у которой координата $y$ постоянна и равна $-3$. Приравниваем выражения для $y$:
$-3 = 36x + 1$
Решаем уравнение для $x$:
$-3 - 1 = 36x$
$-4 = 36x$
$x = -\frac{4}{36} = -\frac{1}{9}$
Координата $y$ точки пересечения уже известна из первого уравнения: $y = -3$.
Координаты точки пересечения: $(-\frac{1}{9}, -3)$.
Ответ: $(-\frac{1}{9}, -3)$.

419. В трёх кусках 75 м ткани. В первом куске в 1,5 раза больше ткани, чем во втором и третьем вместе. Сколько ткани в каждом куске, если во втором на 10 м больше, чем в третьем?

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ – длина первого куска ткани в метрах, $y$ – длина второго куска, а $z$ – длина третьего куска.

Исходя из условий, можно составить следующие уравнения:

1. Общая длина ткани во всех трёх кусках составляет 75 м:

$x + y + z = 75$

2. В первом куске в 1,5 раза больше ткани, чем во втором и третьем вместе:

$x = 1.5 \cdot (y + z)$

3. Во втором куске на 10 м больше ткани, чем в третьем:

$y = z + 10$

Теперь решим полученную систему уравнений. Для начала рассмотрим первые два уравнения. Если обозначить суммарную длину второго и третьего кусков как $S = y + z$, то система уравнений примет вид:

$x + S = 75$

$x = 1.5 \cdot S$

Подставим второе уравнение в первое:

$1.5 \cdot S + S = 75$

$2.5 \cdot S = 75$

Отсюда найдем $S$:

$S = \frac{75}{2.5} = 30$ м.

Таким образом, суммарная длина второго и третьего кусков ткани равна 30 м. Теперь найдем длину первого куска, $x$:

$x = 1.5 \cdot S = 1.5 \cdot 30 = 45$ м.

Теперь, зная, что $y + z = 30$ и $y = z + 10$, найдем длины второго и третьего кусков. Подставим выражение для $y$ из третьего начального уравнения в равенство $y + z = 30$:

$(z + 10) + z = 30$

$2z + 10 = 30$

$2z = 30 - 10$

$2z = 20$

$z = \frac{20}{2} = 10$ м.

Итак, длина третьего куска ткани составляет 10 м. Наконец, найдем длину второго куска, $y$:

$y = z + 10 = 10 + 10 = 20$ м.

Проведем проверку полученных результатов:

Общая длина: $45 + 20 + 10 = 75$ м (верно).

Первый кусок в 1,5 раза больше суммы двух других: $20 + 10 = 30$ м, и $45 = 1.5 \cdot 30$ (верно).

Второй кусок на 10 м больше третьего: $20 = 10 + 10$ (верно).

Ответ: в первом куске 45 м ткани, во втором – 20 м, в третьем – 10 м.