Номер 419, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 419, страница 126.

Условие.

419. В трёх кусках 75 м ткани. В первом куске в 1,5 раза больше ткани, чем во втором и третьем вместе. Сколько ткани в каждом куске, если во втором на 10 м больше, чем в третьем?

Решение 1.

Решение 8.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ – длина первого куска ткани в метрах, $y$ – длина второго куска, а $z$ – длина третьего куска.

Исходя из условий, можно составить следующие уравнения:

1. Общая длина ткани во всех трёх кусках составляет 75 м:

$x + y + z = 75$

2. В первом куске в 1,5 раза больше ткани, чем во втором и третьем вместе:

$x = 1.5 \cdot (y + z)$

3. Во втором куске на 10 м больше ткани, чем в третьем:

$y = z + 10$

Теперь решим полученную систему уравнений. Для начала рассмотрим первые два уравнения. Если обозначить суммарную длину второго и третьего кусков как $S = y + z$, то система уравнений примет вид:

$x + S = 75$

$x = 1.5 \cdot S$

Подставим второе уравнение в первое:

$1.5 \cdot S + S = 75$

$2.5 \cdot S = 75$

Отсюда найдем $S$:

$S = \frac{75}{2.5} = 30$ м.

Таким образом, суммарная длина второго и третьего кусков ткани равна 30 м. Теперь найдем длину первого куска, $x$:

$x = 1.5 \cdot S = 1.5 \cdot 30 = 45$ м.

Теперь, зная, что $y + z = 30$ и $y = z + 10$, найдем длины второго и третьего кусков. Подставим выражение для $y$ из третьего начального уравнения в равенство $y + z = 30$:

$(z + 10) + z = 30$

$2z + 10 = 30$

$2z = 30 - 10$

$2z = 20$

$z = \frac{20}{2} = 10$ м.

Итак, длина третьего куска ткани составляет 10 м. Наконец, найдем длину второго куска, $y$:

$y = z + 10 = 10 + 10 = 20$ м.

Проведем проверку полученных результатов:

Общая длина: $45 + 20 + 10 = 75$ м (верно).

Первый кусок в 1,5 раза больше суммы двух других: $20 + 10 = 30$ м, и $45 = 1.5 \cdot 30$ (верно).

Второй кусок на 10 м больше третьего: $20 = 10 + 10$ (верно).

Ответ: в первом куске 45 м ткани, во втором – 20 м, в третьем – 10 м.