Номер 424, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. 22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени - номер 424, страница 127.

Условие.

424. Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см, а его гипотенуза равна 37 см. Найдите площадь этого треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

Периметр $P$ треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, он равен 84 см. $P = a + b + c = 84$ см

Гипотенуза $c$ равна 37 см. Подставим это значение в формулу периметра, чтобы найти сумму катетов $a + b$: $a + b + 37 = 84$ $a + b = 84 - 37$ $a + b = 47$ см

Площадь $S$ прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}ab$

Чтобы найти произведение катетов $ab$, воспользуемся связью между суммой катетов и теоремой Пифагора. Возведем в квадрат выражение для суммы катетов: $(a + b)^2 = 47^2$ $a^2 + 2ab + b^2 = 2209$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: $a^2 + b^2 = c^2$ $a^2 + b^2 = 37^2 = 1369$

Теперь подставим значение $a^2 + b^2$ в раскрытое выражение квадрата суммы: $(a^2 + b^2) + 2ab = 2209$ $1369 + 2ab = 2209$

Найдем отсюда значение $2ab$: $2ab = 2209 - 1369$ $2ab = 840$

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника $S$: $S = \frac{1}{2}ab = \frac{2ab}{4} = \frac{840}{4} = 210$ Или, найдя $ab = \frac{840}{2} = 420$, подставить в формулу площади: $S = \frac{1}{2} \cdot 420 = 210$ см².

Ответ: 210 см².