Номер 426, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 426, страница 127.

Условие.

426. От вершины прямого угла по его сторонам начинают одновременно двигаться два тела. Через 15 с расстояние между ними стало равно 3 м. С какой скоростью двигалось каждое тело, если известно, что первое прошло за 6 с такое же расстояние, какое второе прошло за 8 с?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $v_1$ — скорость первого тела, а $v_2$ — скорость второго тела. Мы будем измерять скорость в метрах в секунду (м/с).

Два тела движутся по сторонам прямого угла, начиная от его вершины. Это означает, что их траектории перпендикулярны друг другу. Через время $t = 15$ с первое тело пройдет расстояние $s_1 = v_1 \cdot t = 15v_1$, а второе тело — расстояние $s_2 = v_2 \cdot t = 15v_2$.

Расстояния $s_1$ и $s_2$ являются катетами прямоугольного треугольника, а расстояние $d$ между телами — его гипотенузой. По теореме Пифагора: $s_1^2 + s_2^2 = d^2$

Подставим известные значения $t = 15$ с и $d = 3$ м в это уравнение: $(15v_1)^2 + (15v_2)^2 = 3^2$ $225v_1^2 + 225v_2^2 = 9$

Разделим обе части уравнения на 225: $v_1^2 + v_2^2 = \frac{9}{225}$ $v_1^2 + v_2^2 = \frac{1}{25}$ Это наше первое уравнение.

Из второго условия задачи известно, что первое тело прошло за 6 с такое же расстояние, какое второе прошло за 8 с. Запишем это в виде равенства: $v_1 \cdot 6 = v_2 \cdot 8$ $6v_1 = 8v_2$

Упростим это выражение, разделив обе части на 2, и выразим одну скорость через другую: $3v_1 = 4v_2$ $v_1 = \frac{4}{3}v_2$ Это наше второе уравнение.

Теперь подставим выражение для $v_1$ из второго уравнения в первое: $(\frac{4}{3}v_2)^2 + v_2^2 = \frac{1}{25}$ $\frac{16}{9}v_2^2 + v_2^2 = \frac{1}{25}$

Приведем подобные слагаемые в левой части: $(\frac{16}{9} + 1)v_2^2 = \frac{1}{25}$ $(\frac{16}{9} + \frac{9}{9})v_2^2 = \frac{1}{25}$ $\frac{25}{9}v_2^2 = \frac{1}{25}$

Найдем $v_2^2$: $v_2^2 = \frac{1}{25} \cdot \frac{9}{25} = \frac{9}{625}$

Поскольку скорость — величина положительная, извлечем квадратный корень: $v_2 = \sqrt{\frac{9}{625}} = \frac{3}{25} = 0,12$ м/с.

Теперь найдем скорость первого тела $v_1$, используя соотношение $v_1 = \frac{4}{3}v_2$: $v_1 = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{25} = \frac{4}{25} = 0,16$ м/с.

Ответ: скорость первого тела равна 0,16 м/с, а скорость второго тела — 0,12 м/с.