Номер 428, страница 128 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 428, страница 128.

Условие.

428. Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см², а его гипотенуза равна 10 см. Каковы катеты треугольника?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$.

По условию задачи нам даны площадь треугольника $S = 24$ см? и гипотенуза $c = 10$ см.

Для решения задачи составим систему уравнений, используя формулу площади прямоугольного треугольника и теорему Пифагора.

1. Формула площади прямоугольного треугольника: $S = \frac{1}{2}ab$.
Подставив известное значение площади, получаем: $24 = \frac{1}{2}ab$.
Отсюда следует, что произведение катетов равно: $ab = 24 \cdot 2 = 48$.

2. Теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
Подставив известное значение гипотенузы, получаем: $a^2 + b^2 = 10^2$, что равно $a^2 + b^2 = 100$.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} ab = 48 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases}$

Решим эту систему. Воспользуемся алгебраическим тождеством $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Мы можем переписать его как $(a+b)^2 = (a^2+b^2) + 2ab$.
Подставим известные нам значения $(a^2+b^2) = 100$ и $ab = 48$:

$(a+b)^2 = 100 + 2 \cdot 48 = 100 + 96 = 196$.

Поскольку $a$ и $b$ являются длинами сторон треугольника, их сумма должна быть положительным числом. Следовательно:

$a+b = \sqrt{196} = 14$.

Теперь мы получили новую, более простую систему уравнений:

$\begin{cases} a + b = 14 \\ ab = 48 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 14t + 48 = 0$.
Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4$.

$t_1 = \frac{14 + \sqrt{4}}{2} = \frac{14 + 2}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

$t_2 = \frac{14 - \sqrt{4}}{2} = \frac{14 - 2}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Корни уравнения — 8 и 6. Это и есть длины катетов. То есть, если один катет равен 8 см, то второй равен 6 см, и наоборот.

Проверим полученный результат:
Площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см?. (Верно)
Гипотенуза по теореме Пифагора: $c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, значит $c = \sqrt{100} = 10$ см. (Верно)
Все условия задачи выполнены.

Ответ: катеты треугольника равны 6 см и 8 см.