Номер 435, страница 128 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

435. Рационализаторы цеха внедрили в производство усовершенствованный тип детали. Определите массу детали нового и старого типов, если известно, что деталь нового типа на 0,2 кг легче детали старого типа, причём из 22 кг металла стали делать деталей нового типа на две больше, чем делали деталей старого типа из 24 кг металла.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — масса детали старого типа в кг, а $y$ — масса детали нового типа в кг.

Из условия задачи известно, что деталь нового типа на 0,2 кг легче детали старого типа. Это можно записать в виде уравнения:
$y = x - 0.2$

Также известно, что из 22 кг металла стали делать деталей нового типа на две больше, чем делали деталей старого типа из 24 кг металла.
Количество деталей, изготовленных из определенной массы металла, равно общей массе металла, деленной на массу одной детали.
Количество деталей нового типа, изготовленных из 22 кг металла, равно $22/y$.
Количество деталей старого типа, изготовленных из 24 кг металла, равно $24/x$.
Составим второе уравнение на основе этой информации:
$\frac{22}{y} = \frac{24}{x} + 2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $y = x - 0.2$
2) $\frac{22}{y} = \frac{24}{x} + 2$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$\frac{22}{x - 0.2} = \frac{24}{x} + 2$

Для решения этого уравнения приведем все члены к общему знаменателю $x(x - 0.2)$. Умножим обе части уравнения на $x(x - 0.2)$, предполагая, что $x \neq 0$ и $x \neq 0.2$. Поскольку $x$ — это масса, она должна быть положительной, так что эти условия выполняются.
$22x = 24(x - 0.2) + 2x(x - 0.2)$
Раскроем скобки:
$22x = 24x - 4.8 + 2x^2 - 0.4x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$2x^2 + 24x - 0.4x - 22x - 4.8 = 0$
$2x^2 + 1.6x - 4.8 = 0$

Для удобства вычислений разделим все уравнение на 2:
$x^2 + 0.8x - 2.4 = 0$
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (0.8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2.4) = 0.64 + 9.6 = 10.24$
Найдем корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-0.8 \pm \sqrt{10.24}}{2 \cdot 1} = \frac{-0.8 \pm 3.2}{2}$
$x_1 = \frac{-0.8 + 3.2}{2} = \frac{2.4}{2} = 1.2$
$x_2 = \frac{-0.8 - 3.2}{2} = \frac{-4.0}{2} = -2$

Поскольку масса детали не может быть отрицательной, корень $x_2 = -2$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, масса детали старого типа составляет $x = 1.2$ кг.

Теперь найдем массу детали нового типа, используя первое уравнение:
$y = x - 0.2 = 1.2 - 0.2 = 1.0$ кг.

Проверим найденные значения:
Количество деталей нового типа из 22 кг металла: $\frac{22}{1.0} = 22$ штуки.
Количество деталей старого типа из 24 кг металла: $\frac{24}{1.2} = 20$ штук.
Разница в количестве деталей: $22 - 20 = 2$, что соответствует условию задачи.

Ответ: масса детали старого типа — 1,2 кг, масса детали нового типа — 1,0 кг.