Номер 440, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

440. Из куска олова массой 356 г и куска меди массой 438 г сделали сплав. Известно, что плотность олова на 1,6 г/см³ больше плотности меди. Найдите объём каждого куска металла, если объём куска олова на 20 см³ меньше объёма куска меди.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $m_о$ – масса куска олова, $V_о$ – объём куска олова, $\rho_о$ – плотность олова.
• $m_м$ – масса куска меди, $V_м$ – объём куска меди, $\rho_м$ – плотность меди.

Исходя из условия задачи, мы имеем следующие данные:

$m_о = 356 \text{ г}$

$m_м = 438 \text{ г}$

Плотность олова на $1,6 \text{ г/см}^3$ больше плотности меди, что можно записать в виде уравнения:

$\rho_о = \rho_м + 1,6$

Объём куска олова на $20 \text{ см}^3$ меньше объёма куска меди, что также можно записать в виде уравнения:

$V_о = V_м - 20$

Основная формула, связывающая массу, объём и плотность, выглядит так: $\rho = m/V$.

Выразим плотности олова и меди через их массу и объём:

$\rho_о = \frac{m_о}{V_о} = \frac{356}{V_о}$

$\rho_м = \frac{m_м}{V_м} = \frac{438}{V_м}$

Подставим эти выражения в уравнение, связывающее плотности:

$\frac{356}{V_о} = \frac{438}{V_м} + 1,6$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($V_о$ и $V_м$):

$\left\{ \begin{array}{l} \frac{356}{V_о} = \frac{438}{V_м} + 1,6 \\ V_о = V_м - 20 \end{array} \right. $

Подставим выражение для $V_о$ из второго уравнения в первое:

$\frac{356}{V_м - 20} = \frac{438}{V_м} + 1,6$

Решим это уравнение относительно $V_м$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $V_м(V_м - 20)$, при условии, что $V_м \neq 0$ и $V_м \neq 20$:

$356 \cdot V_м = 438 \cdot (V_м - 20) + 1,6 \cdot V_м \cdot (V_м - 20)$

Раскроем скобки:

$356 V_м = 438 V_м - 8760 + 1,6 V_м^2 - 32 V_м$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$1,6 V_м^2 + (438 - 32 - 356)V_м - 8760 = 0$

$1,6 V_м^2 + 50 V_м - 8760 = 0$

Для удобства вычислений умножим все уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби, а затем разделим на 4:

$16 V_м^2 + 500 V_м - 87600 = 0 \quad | :4$

$4 V_м^2 + 125 V_м - 21900 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 125^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-21900) = 15625 + 16 \cdot 21900 = 15625 + 350400 = 366025$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{366025} = 605$.

Теперь найдем значения для $V_м$:

$V_м = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-125 \pm 605}{2 \cdot 4} = \frac{-125 \pm 605}{8}$

Уравнение имеет два корня:

$V_{м1} = \frac{-125 + 605}{8} = \frac{480}{8} = 60$

$V_{м2} = \frac{-125 - 605}{8} = \frac{-730}{8} = -91,25$

Поскольку объём не может быть отрицательным, единственное физически осмысленное решение — это $V_м = 60 \text{ см}^3$.

Теперь найдем объём куска олова, используя второе уравнение системы:

$V_о = V_м - 20 = 60 - 20 = 40 \text{ см}^3$

Ответ: объём куска олова равен $40 \text{ см}^3$, а объём куска меди — $60 \text{ см}^3$.