Номер 443, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 443, страница 129.

Условие.

443. Приведите пример какого-либо числа, отвечающего указанным характеристикам и покажите положение соответствующей точки на координатной прямой:

а) отрицательное, не являющееся рациональным;

б) рациональное, заключённое между числами 2 и 3;

в) иррациональное отрицательное;

г) иррациональное, большее $\frac{1}{3}$ и меньшее $\frac{1}{2}$.

Решение 1.

Решение 8.

а) отрицательное, не являющееся рациональным;

Иррациональное число — это действительное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Примерами иррациональных чисел являются $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$. Нам нужно найти отрицательное иррациональное число.

В качестве примера возьмем число $-\sqrt{3}$. Это число отрицательное. Так как 3 не является квадратом целого числа, $\sqrt{3}$ является иррациональным, следовательно, и $-\sqrt{3}$ — иррациональное число.

Для того чтобы показать положение точки на координатной прямой, найдем приближенное значение. Известно, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, значит $1 < \sqrt{3} < 2$. Более точное значение: $\sqrt{3} \approx 1.732$. Соответственно, $-\sqrt{3} \approx -1.732$. Эта точка находится на координатной прямой между числами -2 и -1, ближе к -2.

Ответ: $-\sqrt{3}$

б) рациональное, заключённое между числами $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$;

Нам нужно найти рациональное число $x$, которое удовлетворяет неравенству $\sqrt{2} < x < \sqrt{3}$.

Найдем приближенные значения границ интервала: $\sqrt{2} \approx 1.414$ и $\sqrt{3} \approx 1.732$. Таким образом, нам нужно найти рациональное число, лежащее между 1.414 и 1.732.

Выберем, например, число 1.5. Это число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{3}{2}$. Проверим, выполняется ли неравенство. Возведем все части неравенства в квадрат: $(\sqrt{2})^2 < (1.5)^2 < (\sqrt{3})^2$, что дает $2 < 2.25 < 3$. Неравенство верно, значит, наш выбор корректен.

На координатной прямой точка, соответствующая числу 1.5, находится ровно посередине между отметками 1 и 2.

Ответ: 1.5

в) иррациональное отрицательное;

Это задание аналогично пункту а). Нужно привести пример отрицательного иррационального числа. В качестве другого примера возьмем число $-\pi$.

Число $\pi$ (пи) является иррациональным. Его приближенное значение $\pi \approx 3.14159...$. Соответственно, число $-\pi$ является отрицательным иррациональным числом.

На координатной прямой точка, соответствующая числу $-\pi$, находится между -4 и -3, немного левее отметки -3.14.

Ответ: $-\pi$

г) иррациональное, большее $\frac{1}{3}$ и меньшее $\frac{1}{2}$.

Требуется найти иррациональное число $x$, удовлетворяющее неравенству $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$.

Переведем границы в десятичные дроби: $\frac{1}{3} = 0.333...$ и $\frac{1}{2} = 0.5$. Нам нужно найти иррациональное число в интервале $(0.333..., 0.5)$.

Для поиска такого числа возведем неравенство в квадрат: $(\frac{1}{3})^2 < x^2 < (\frac{1}{2})^2$, что равносильно $\frac{1}{9} < x^2 < \frac{1}{4}$. В десятичном виде это $0.111... < x^2 < 0.25$.

Выберем любое удобное число в интервале $(0.111..., 0.25)$, которое не является квадратом рационального числа. Например, возьмем число 0.2, которое можно записать как $\frac{1}{5}$. Так как $0.111... < 0.2 < 0.25$, то и $\sqrt{0.111...} < \sqrt{0.2} < \sqrt{0.25}$, то есть $\frac{1}{3} < \sqrt{0.2} < \frac{1}{2}$. Число $\sqrt{0.2} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ является иррациональным и удовлетворяет условию.

Приближенное значение этого числа: $\frac{1}{\sqrt{5}} \approx \frac{1}{2.236} \approx 0.447$. На координатной прямой эта точка расположена между 0 и 1, а точнее — между $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$, ближе к $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{5}}$