Номер 446, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

446. Решите неравенство:

а) $x^2 - 6x < 0$

Для решения данного квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 6x = 0$. Это можно сделать, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 6) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Эти корни являются точками, в которых парабола $y = x^2 - 6x$ пересекает ось абсцисс. Поскольку коэффициент при $x^2$ (равный 1) положителен, ветви параболы направлены вверх. Неравенство $x^2 - 6x < 0$ выполняется на том интервале, где график функции находится ниже оси абсцисс, то есть между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть интервал $(0, 6)$.

Ответ: $x \in (0; 6)$.

б) $8x + x^2 \ge 0$

Сначала приведем неравенство к стандартному виду: $x^2 + 8x \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 8x = 0$, вынеся $x$ за скобки:

$x(x + 8) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -8$.

Графиком функции $y = x^2 + 8x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $x^2 + 8x \ge 0$ выполняется там, где парабола находится на оси абсцисс или выше нее. Это происходит в точках, которые лежат левее меньшего корня (включая корень) и правее большего корня (включая корень).

Следовательно, решение: $x \le -8$ или $x \ge 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; -8] \cup [0; \infty)$.

в) $x^2 \le 4$

Перенесем 4 в левую часть неравенства, чтобы получить $x^2 - 4 \le 0$.

Левую часть можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 2)(x + 2) \le 0$

Корни соответствующего уравнения $(x - 2)(x + 2) = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 - 4$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на интервале между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $-2 \le x \le 2$.

Ответ: $x \in [-2; 2]$.

г) $x^2 > 6$

Перенесем 6 в левую часть: $x^2 - 6 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 6 = 0$:

$x^2 = 6$

$x_{1,2} = \pm\sqrt{6}$

Корни: $x_1 = -\sqrt{6}$ и $x_2 = \sqrt{6}$.

Парабола $y = x^2 - 6$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $> 0$ выполняется на интервалах вне корней, то есть левее меньшего корня и правее большего.

Следовательно, решение неравенства: $x < -\sqrt{6}$ или $x > \sqrt{6}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}; \infty)$.