Номер 445, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 445, страница 130.

Условие.

445. В каких координатных четвертях нет ни одной точки графика функции:

а) y = –3,5x² – 2,6;

б) y = x² – 12x + 34?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $y = -3,5x^2 - 2,6$

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-3,5$, что является отрицательным числом ($a < 0$), следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Найдем наибольшее значение функции. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$. Тогда выражение $-3,5x^2 \le 0$. Следовательно, для любого значения $x$ значение функции $y = -3,5x^2 - 2,6$ будет меньше либо равно $-2,6$. $y \le -2,6$.

Это означает, что все точки графика функции имеют отрицательную ординату. График целиком расположен ниже оси абсцисс.

Координатные четверти, в которых ордината ($y$) положительна, — это I и II четверти. Поскольку для данной функции $y$ никогда не бывает положительным, график не может иметь точек в этих четвертях. График функции расположен в III ($x < 0, y < 0$) и IV ($x > 0, y < 0$) координатных четвертях.

Ответ: I и II.

б) $y = x^2 - 12x + 34$

Это также квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, что является положительным числом ($a > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Для определения расположения графика найдем координаты его вершины. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$: $x_v = -\frac{-12}{2 \cdot 1} = 6$.

Подставим $x_v = 6$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины $y_v$: $y_v = (6)^2 - 12 \cdot 6 + 34 = 36 - 72 + 34 = -2$.

Вершина параболы находится в точке $(6; -2)$. Эта точка, имея положительную абсциссу и отрицательную ординату, расположена в IV координатной четверти.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, вершина является точкой минимума. Это значит, что область значений функции $y \ge -2$.

Проверим, в каких четвертях могут находиться точки графика:
- I и II четверти ($y > 0$): Точки есть, так как функция может принимать положительные значения (например, при $x=0$, $y=34$). При $x < 0$ значение $y$ всегда будет положительным, так как $x^2 > 0$ и $-12x > 0$, значит, $y = x^2 - 12x + 34$ > 34. Это точки во II четверти. При достаточно больших $x$ (например, $x=10$, $y=14$) точки будут и в I четверти.
- IV четверть ($x > 0, y < 0$): Точки есть. Как мы установили, вершина параболы $(6; -2)$ находится в IV четверти.
- III четверть ($x < 0, y < 0$): Точек нет. Для нахождения в этой четверти обе координаты должны быть отрицательными. Однако, как мы показали выше, если $x < 0$, то $y$ всегда будет положительным. Следовательно, в III четверти нет ни одной точки графика.

Ответ: III.