Номер 449, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

449. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное неравенством:

а) $y \ge x$

Чтобы изобразить множество точек, удовлетворяющих данному неравенству, выполним следующие шаги:

1. Построим граничную линию. Для этого заменим знак неравенства на знак равенства: $y = x$. Это уравнение прямой, которая является биссектрисой I и III координатных углов и проходит, например, через точки $(0, 0)$ и $(2, 2)$.

2. Определим тип линии. Поскольку неравенство нестрогое (содержит знак $\ge$), точки на самой прямой $y=x$ являются частью решения. Поэтому линию следует рисовать сплошной.

3. Выберем полуплоскость. Прямая $y=x$ делит всю координатную плоскость на две части. Чтобы определить, какая из них является решением, возьмем любую пробную точку, не лежащую на прямой. Например, точку $(0, 1)$. Подставим ее координаты в исходное неравенство:

$1 \ge 0$

Это верное утверждение. Значит, решением является та полуплоскость, в которой находится точка $(0, 1)$. Это область выше прямой $y=x$.

Ответ: Решением является прямая $y=x$ и вся полуплоскость, расположенная выше этой прямой.

б) $y \le x - 1$

1. Построим граничную линию, заданную уравнением $y = x - 1$. Это прямая, параллельная прямой $y=x$, но смещенная на 1 единицу вниз. Для построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=-1$ (точка $(0, -1)$); если $x=1$, то $y=0$ (точка $(1, 0)$).

2. Тип линии. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому граничная линия является частью решения и изображается сплошной линией.

3. Выберем полуплоскость. Возьмем пробную точку, например, начало координат $(0, 0)$. Подставим в неравенство:

$0 \le 0 - 1$

$0 \le -1$

Это неверное утверждение. Следовательно, решением является полуплоскость, не содержащая начало координат. Это область ниже прямой $y=x-1$.

Ответ: Решением является прямая $y=x-1$ и вся полуплоскость, расположенная ниже этой прямой.

в) $y > \frac{1}{4}x - 1$

1. Построим граничную линию $y = \frac{1}{4}x - 1$. Найдем две точки на этой прямой: если $x=0$, то $y=-1$ (точка $(0, -1)$); если $x=4$, то $y = \frac{1}{4}(4) - 1 = 1 - 1 = 0$ (точка $(4, 0)$).

2. Тип линии. Неравенство строгое ($>$), значит, точки на самой прямой не являются решением. Линию следует рисовать пунктирной (штриховой).

3. Выберем полуплоскость. Возьмем в качестве пробной точки начало координат $(0, 0)$. Подставим в исходное неравенство:

$0 > \frac{1}{4}(0) - 1$

$0 > -1$

Это верное утверждение. Значит, решением является полуплоскость, содержащая начало координат, то есть область выше пунктирной прямой $y=\frac{1}{4}x - 1$.

Ответ: Решением является полуплоскость, расположенная выше пунктирной прямой $y=\frac{1}{4}x-1$. Сама прямая в решение не входит.

г) $y < \frac{1}{3}x - 3$

1. Построим граничную линию $y = \frac{1}{3}x - 3$. Найдем две точки: если $x=0$, то $y=-3$ (точка $(0, -3)$); если $x=3$, то $y = \frac{1}{3}(3) - 3 = 1 - 3 = -2$ (точка $(3, -2)$).

2. Тип линии. Неравенство строгое ($<$), поэтому точки на прямой не являются решением. Линию следует рисовать пунктирной (штриховой).

3. Выберем полуплоскость. Проверим точку $(0, 0)$:

$0 < \frac{1}{3}(0) - 3$

$0 < -3$

Это неверное утверждение. Следовательно, решением является полуплоскость, которая не содержит начало координат. Это область ниже пунктирной прямой $y=\frac{1}{3}x-3$.

Ответ: Решением является полуплоскость, расположенная ниже пунктирной прямой $y=\frac{1}{3}x-3$. Сама прямая в решение не входит.