Номер 451, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Неравенства с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 451, страница 134.

Условие.

451. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное неравенством:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $x \ge 3$

Данное неравенство задает множество всех точек на координатной плоскости, абсцисса $x$ которых больше или равна 3. Ордината $y$ при этом может быть любым действительным числом.

1. Сначала построим граничную прямую, которая задается уравнением $x = 3$. Это вертикальная прямая, параллельная оси OY и проходящая через точку $(3, 0)$.

2. Неравенство является нестрогим ($ \ge $), поэтому точки на самой прямой $x=3$ удовлетворяют неравенству. Следовательно, граничную прямую следует изобразить сплошной линией.

3. Неравенство $x \ge 3$ выполняется для всех точек, которые лежат на прямой $x=3$ и справа от нее. Таким образом, искомым множеством является правая полуплоскость, включая ее границу.

Ответ: Множество точек, заданное неравенством $x \ge 3$, представляет собой полуплоскость, расположенную справа от вертикальной прямой $x = 3$, включая саму эту прямую.

б) $y < -1$

Данное неравенство задает множество всех точек на координатной плоскости, ордината $y$ которых строго меньше -1. Абсцисса $x$ при этом может быть любым действительным числом.

1. Сначала построим граничную прямую, которая задается уравнением $y = -1$. Это горизонтальная прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку $(0, -1)$.

2. Неравенство является строгим ($ < $), поэтому точки на самой прямой $y=-1$ не удовлетворяют неравенству. Следовательно, граничную прямую следует изобразить пунктирной (штриховой) линией.

3. Неравенство $y < -1$ выполняется для всех точек, которые лежат ниже прямой $y=-1$. Таким образом, искомым множеством является открытая нижняя полуплоскость.

Ответ: Множество точек, заданное неравенством $y < -1$, представляет собой открытую полуплоскость, расположенную ниже горизонтальной прямой $y = -1$. Граница (прямая $y=-1$) в это множество не входит.

в) $1 < x < 4$

Данное двойное неравенство задает множество всех точек на координатной плоскости, абсцисса $x$ которых строго больше 1 и одновременно строго меньше 4. Ордината $y$ может быть любым действительным числом. Это неравенство можно представить в виде системы:
$ \begin{cases} x > 1 \\ x < 4 \end{cases} $

1. Построим граничные прямые, которые задаются уравнениями $x = 1$ и $x = 4$. Обе прямые являются вертикальными, параллельными оси OY. Прямая $x=1$ проходит через точку $(1,0)$, а прямая $x=4$ - через точку $(4,0)$.

2. Оба неравенства в системе являются строгими ($ > $, $ < $), поэтому точки на граничных прямых $x=1$ и $x=4$ не удовлетворяют неравенству. Следовательно, обе прямые следует изобразить пунктирными линиями.

3. Искомое множество точек должно удовлетворять обоим условиям одновременно: $x > 1$ (точки справа от прямой $x=1$) и $x < 4$ (точки слева от прямой $x=4$). Таким образом, решением является область, заключенная между этими двумя прямыми.

Ответ: Множество точек, заданное неравенством $1 < x < 4$, представляет собой вертикальную полосу, ограниченную слева пунктирной прямой $x=1$ и справа пунктирной прямой $x=4$. Границы полосы в множество не входят.

г) $-3 \le y \le 3$

Данное двойное неравенство задает множество всех точек на координатной плоскости, ордината $y$ которых больше или равна -3 и одновременно меньше или равна 3. Абсцисса $x$ может быть любым действительным числом. Это неравенство можно представить в виде системы:
$ \begin{cases} y \ge -3 \\ y \le 3 \end{cases} $

1. Построим граничные прямые, которые задаются уравнениями $y = -3$ и $y = 3$. Обе прямые являются горизонтальными, параллельными оси OX. Прямая $y=-3$ проходит через точку $(0,-3)$, а прямая $y=3$ - через точку $(0,3)$.

2. Оба неравенства в системе являются нестрогими ($ \le $), поэтому точки на граничных прямых $y=-3$ и $y=3$ удовлетворяют неравенству. Следовательно, обе прямые следует изобразить сплошными линиями.

3. Искомое множество точек должно удовлетворять обоим условиям одновременно: $y \ge -3$ (точки на прямой $y=-3$ и выше нее) и $y \le 3$ (точки на прямой $y=3$ и ниже нее). Таким образом, решением является область, заключенная между этими двумя прямыми, включая сами прямые.

Ответ: Множество точек, заданное неравенством $-3 \le y \le 3$, представляет собой горизонтальную полосу, ограниченную снизу сплошной прямой $y=-3$ и сверху сплошной прямой $y=3$. Границы полосы (обе прямые) входят в искомое множество.