Номер 457, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Неравенства с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 457, страница 134.

Условие.

457. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

а) xy ≥ 0;

б) xy ‹ 0.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Рассмотрим неравенство $xy \geq 0$.

Произведение двух сомножителей $x$ и $y$ является неотрицательным (то есть больше или равно нулю) в том случае, когда оба сомножителя имеют одинаковый знак или хотя бы один из них равен нулю. Это условие можно разбить на два случая, которые представляют собой совокупность двух систем неравенств:

1. Оба сомножителя неотрицательны: $x \geq 0$ и $y \geq 0$. Множество точек, удовлетворяющих этой системе, представляет собой первую координатную четверть, включая её границы — положительные полуоси $Ox$ и $Oy$ и начало координат.

2. Оба сомножителя неположительны: $x \leq 0$ и $y \leq 0$. Множество точек, удовлетворяющих этой системе, представляет собой третью координатную четверть, включая её границы — отрицательные полуоси $Ox$ и $Oy$ и начало координат.

Поскольку неравенство нестрогое ($\geq$), то точки на границе областей, где $xy = 0$ (то есть на осях координат $x=0$ и $y=0$), также являются решениями. Объединяя решения для обоих случаев, получаем искомое множество.

Ответ: Множеством решений является объединение первой и третьей координатных четвертей, включая оси координат.

б)

Рассмотрим неравенство $xy < 0$.

Произведение двух сомножителей $x$ и $y$ является отрицательным (то есть меньше нуля) в том случае, когда сомножители имеют разные знаки. Это условие также можно разбить на два случая, которые представляют собой совокупность двух систем неравенств:

1. Первый сомножитель положителен, а второй отрицателен: $x > 0$ и $y < 0$. Множество точек, удовлетворяющих этой системе, представляет собой четвертую координатную четверть.

2. Первый сомножитель отрицателен, а второй положителен: $x < 0$ и $y > 0$. Множество точек, удовлетворяющих этой системе, представляет собой вторую координатную четверть.

Поскольку неравенство строгое ($<$), то точки, в которых произведение равно нулю ($xy = 0$), не входят в множество решений. Это означает, что границы областей — оси координат $Ox$ и $Oy$ — не включаются в решение. При графическом изображении такие границы принято рисовать пунктирной линией.

Ответ: Множеством решений является объединение второй и четвертой координатных четвертей, не включая оси координат.