Страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

450. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное неравенством ax + by › c, если:

а) a = 0, b = 1, c = 3;

б) a = 1, b = 0, c = 3.

а)

Подставим значения $a = 0$, $b = 1$, $c = 3$ в неравенство $ax + by > c$.

Получаем:

$0 \cdot x + 1 \cdot y > 3$

После упрощения имеем:

$y > 3$

Это неравенство определяет множество всех точек на координатной плоскости, ордината ($y$) которых строго больше 3. Границей этого множества является прямая $y = 3$.

Построим эту прямую. Это горизонтальная линия, параллельная оси абсцисс (Ox) и проходящая через точку $(0, 3)$ на оси ординат (Oy).

Так как неравенство строгое ($>$), точки, лежащие на самой прямой $y = 3$, не являются частью решения. Поэтому на графике эту прямую изображают пунктирной линией.

Искомое множество точек — это все точки, которые лежат выше пунктирной прямой $y = 3$. Эта область представляет собой открытую полуплоскость.

Ответ: Множество точек, заданное неравенством, представляет собой открытую полуплоскость, расположенную выше прямой $y = 3$.

б)

Подставим значения $a = 1$, $b = 0$, $c = 3$ в неравенство $ax + by > c$.

Получаем:

$1 \cdot x + 0 \cdot y > 3$

После упрощения имеем:

$x > 3$

Это неравенство определяет множество всех точек на координатной плоскости, абсцисса ($x$) которых строго больше 3. Границей этого множества является прямая $x = 3$.

Построим эту прямую. Это вертикальная линия, параллельная оси ординат (Oy) и проходящая через точку $(3, 0)$ на оси абсцисс (Ox).

Так как неравенство строгое ($>$), точки, лежащие на самой прямой $x = 3$, не являются частью решения. Поэтому на графике эту прямую изображают пунктирной линией.

Искомое множество точек — это все точки, которые лежат правее пунктирной прямой $x = 3$. Эта область представляет собой открытую полуплоскость.

Ответ: Множество точек, заданное неравенством, представляет собой открытую полуплоскость, расположенную правее прямой $x = 3$.

451. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное неравенством:

а) $x \ge 3$

Данное неравенство задает множество всех точек на координатной плоскости, абсцисса $x$ которых больше или равна 3. Ордината $y$ при этом может быть любым действительным числом.

1. Сначала построим граничную прямую, которая задается уравнением $x = 3$. Это вертикальная прямая, параллельная оси OY и проходящая через точку $(3, 0)$.

2. Неравенство является нестрогим ($ \ge $), поэтому точки на самой прямой $x=3$ удовлетворяют неравенству. Следовательно, граничную прямую следует изобразить сплошной линией.

3. Неравенство $x \ge 3$ выполняется для всех точек, которые лежат на прямой $x=3$ и справа от нее. Таким образом, искомым множеством является правая полуплоскость, включая ее границу.

Ответ: Множество точек, заданное неравенством $x \ge 3$, представляет собой полуплоскость, расположенную справа от вертикальной прямой $x = 3$, включая саму эту прямую.

б) $y < -1$

Данное неравенство задает множество всех точек на координатной плоскости, ордината $y$ которых строго меньше -1. Абсцисса $x$ при этом может быть любым действительным числом.

1. Сначала построим граничную прямую, которая задается уравнением $y = -1$. Это горизонтальная прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку $(0, -1)$.

2. Неравенство является строгим ($ < $), поэтому точки на самой прямой $y=-1$ не удовлетворяют неравенству. Следовательно, граничную прямую следует изобразить пунктирной (штриховой) линией.

3. Неравенство $y < -1$ выполняется для всех точек, которые лежат ниже прямой $y=-1$. Таким образом, искомым множеством является открытая нижняя полуплоскость.

Ответ: Множество точек, заданное неравенством $y < -1$, представляет собой открытую полуплоскость, расположенную ниже горизонтальной прямой $y = -1$. Граница (прямая $y=-1$) в это множество не входит.

в) $1 < x < 4$

Данное двойное неравенство задает множество всех точек на координатной плоскости, абсцисса $x$ которых строго больше 1 и одновременно строго меньше 4. Ордината $y$ может быть любым действительным числом. Это неравенство можно представить в виде системы:
$ \begin{cases} x > 1 \\ x < 4 \end{cases} $

1. Построим граничные прямые, которые задаются уравнениями $x = 1$ и $x = 4$. Обе прямые являются вертикальными, параллельными оси OY. Прямая $x=1$ проходит через точку $(1,0)$, а прямая $x=4$ - через точку $(4,0)$.

2. Оба неравенства в системе являются строгими ($ > $, $ < $), поэтому точки на граничных прямых $x=1$ и $x=4$ не удовлетворяют неравенству. Следовательно, обе прямые следует изобразить пунктирными линиями.

3. Искомое множество точек должно удовлетворять обоим условиям одновременно: $x > 1$ (точки справа от прямой $x=1$) и $x < 4$ (точки слева от прямой $x=4$). Таким образом, решением является область, заключенная между этими двумя прямыми.

Ответ: Множество точек, заданное неравенством $1 < x < 4$, представляет собой вертикальную полосу, ограниченную слева пунктирной прямой $x=1$ и справа пунктирной прямой $x=4$. Границы полосы в множество не входят.

г) $-3 \le y \le 3$

Данное двойное неравенство задает множество всех точек на координатной плоскости, ордината $y$ которых больше или равна -3 и одновременно меньше или равна 3. Абсцисса $x$ может быть любым действительным числом. Это неравенство можно представить в виде системы:
$ \begin{cases} y \ge -3 \\ y \le 3 \end{cases} $

1. Построим граничные прямые, которые задаются уравнениями $y = -3$ и $y = 3$. Обе прямые являются горизонтальными, параллельными оси OX. Прямая $y=-3$ проходит через точку $(0,-3)$, а прямая $y=3$ - через точку $(0,3)$.

2. Оба неравенства в системе являются нестрогими ($ \le $), поэтому точки на граничных прямых $y=-3$ и $y=3$ удовлетворяют неравенству. Следовательно, обе прямые следует изобразить сплошными линиями.

3. Искомое множество точек должно удовлетворять обоим условиям одновременно: $y \ge -3$ (точки на прямой $y=-3$ и выше нее) и $y \le 3$ (точки на прямой $y=3$ и ниже нее). Таким образом, решением является область, заключенная между этими двумя прямыми, включая сами прямые.

Ответ: Множество точек, заданное неравенством $-3 \le y \le 3$, представляет собой горизонтальную полосу, ограниченную снизу сплошной прямой $y=-3$ и сверху сплошной прямой $y=3$. Границы полосы (обе прямые) входят в искомое множество.

452. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

а) $y \le x^2 - 4$

Чтобы изобразить множество решений данного неравенства, сначала построим график соответствующего равенства, то есть функцию $y = x^2 - 4$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 4 единицы вниз по оси OY. Вершина параболы находится в точке $(0, -4)$. Найдем точки пересечения с осью OX, решив уравнение $x^2 - 4 = 0$, откуда $x = \pm 2$. Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

Неравенство $y \le x^2 - 4$ означает, что нас интересуют все точки $(x, y)$, у которых ордината $y$ меньше или равна значению $x^2 - 4$. Это соответствует области, расположенной ниже параболы. Так как неравенство нестрогое ($\le$), сама парабола также включается в множество решений и изображается сплошной линией.

Для проверки можно взять контрольную точку, не лежащую на параболе, например, начало координат $(0, 0)$. Подставим ее в неравенство: $0 \le 0^2 - 4$, что дает $0 \le -4$. Это неверно, значит, область, содержащая точку $(0, 0)$, не является решением. Следовательно, решением является область по другую сторону от параболы.

Ответ: Множество решений — это область, расположенная ниже параболы $y = x^2 - 4$, включая саму параболу.

б) $y \ge (x - 2)^2 - 1$

Рассмотрим граничную кривую, заданную уравнением $y = (x - 2)^2 - 1$.

Это уравнение параболы, полученной из стандартной параболы $y = x^2$ путем сдвига на 2 единицы вправо по оси OX и на 1 единицу вниз по оси OY. Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$, а ветви направлены вверх.

Неравенство $y \ge (x - 2)^2 - 1$ означает, что искомые точки должны иметь ординату $y$ большую или равную, чем значение выражения $(x - 2)^2 - 1$. Это соответствует области, находящейся выше параболы. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), граница (парабола) включается в решение и рисуется сплошной линией.

Проверим с помощью контрольной точки, например, $(2, 0)$, которая находится "внутри" чаши параболы. Подставляем в неравенство: $0 \ge (2 - 2)^2 - 1$, что дает $0 \ge -1$. Это верное утверждение, поэтому область, содержащая эту точку, является решением.

Ответ: Множество решений — это область, расположенная выше параболы $y = (x - 2)^2 - 1$, включая саму параболу.

в) $x^2 + y^2 \le 25$

Сначала рассмотрим уравнение границы: $x^2 + y^2 = 25$.

Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$.

Неравенство $x^2 + y^2 \le 25$ описывает все точки $(x, y)$, квадрат расстояния которых от начала координат не превышает $25$ (то есть расстояние не превышает 5). Это все точки, находящиеся внутри окружности и на самой окружности.

Так как неравенство нестрогое ($\le$), граница области — окружность — включается в множество решений и изображается сплошной линией.

Ответ: Множество решений — это круг с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 5, включая его границу (окружность).

г) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4$

Границей множества решений является кривая, заданная уравнением $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$.

Это уравнение окружности вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$. Центр окружности находится в точке $(x_0, y_0) = (1, 2)$, а ее радиус равен $r = \sqrt{4} = 2$.

Неравенство $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4$ означает, что квадрат расстояния от точки $(x, y)$ до центра $(1, 2)$ не должен превышать 4. Это условие выполняется для всех точек, которые лежат внутри окружности или на ней.

Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому сама окружность является частью решения и чертится сплошной линией.

Ответ: Множество решений — это круг с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом 2, включая его границу (окружность).

453. (Для работы в парах.) Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

а) xy ‹ 4;

б) xy › –6.

1) Разберите совместно пример 3, приведённый в пункте 23.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга правильность выполнения задания и исправьте ошибки, если они допущены.

а) Чтобы изобразить множество решений неравенства $xy < 4$, сначала построим график функции, которая является границей этой области. Это функция $xy = 4$, или $y = \frac{4}{x}$.

Графиком функции $y = \frac{4}{x}$ является гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Поскольку неравенство строгое ($<$), точки, лежащие на самой гиперболе, не являются решениями. Поэтому гиперболу следует изобразить пунктирной линией.

Теперь определим, какая область является решением неравенства. Гипербола делит координатную плоскость на три области. Чтобы выбрать нужную, возьмем пробную точку, не лежащую на гиперболе. Удобно взять начало координат — точку $(0, 0)$.

Подставим координаты этой точки в исходное неравенство:

$0 \cdot 0 < 4$

$0 < 4$

Получилось верное числовое неравенство. Это означает, что область, содержащая точку $(0, 0)$, является множеством решений. Эта область находится между ветвями гиперболы.

Ответ: Множество решений неравенства $xy < 4$ — это область координатной плоскости, расположенная между ветвями гиперболы $y = \frac{4}{x}$. Граница области (сама гипербола) в решение не входит.

б) Чтобы изобразить множество решений неравенства $xy > -6$, сначала построим график граничной функции $xy = -6$, или $y = -\frac{6}{x}$.

Графиком функции $y = -\frac{6}{x}$ является гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Так как неравенство строгое ($>$), точки на гиперболе не являются решениями, поэтому ее следует изобразить пунктирной линией.

Далее определим искомую область. Возьмем пробную точку, не лежащую на гиперболе, например, начало координат $(0, 0)$.

Подставим ее координаты в исходное неравенство:

$0 \cdot 0 > -6$

$0 > -6$

Это верное числовое неравенство. Следовательно, множество решений — это область, содержащая точку $(0, 0)$. Эта область также находится между ветвями гиперболы.

Ответ: Множество решений неравенства $xy > -6$ — это область координатной плоскости, расположенная между ветвями гиперболы $y = -\frac{6}{x}$. Граница области (сама гипербола) в решение не входит.

454. Какое множество точек задаётся неравенством:

а) Преобразуем данное неравенство, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.
Исходное неравенство: $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 13 \le 0$.
Группируем слагаемые: $(x^2 - 6x) + (y^2 - 4y) + 13 \le 0$.
Дополняем до полных квадратов:
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + 13 \le 0$
$(x - 3)^2 - 9 + (y - 2)^2 - 4 + 13 \le 0$
$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 - 13 + 13 \le 0$
$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 \le 0$
Так как квадраты любых действительных чисел неотрицательны, то $(x - 3)^2 \ge 0$ и $(y - 2)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна. Поэтому левая часть неравенства всегда больше или равна нулю.
Неравенство $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 \le 0$ может выполняться только в том случае, если левая часть равна нулю:
$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 0$.
Это равенство справедливо только тогда, когда оба слагаемых одновременно равны нулю:
$x - 3 = 0 \implies x = 3$
$y - 2 = 0 \implies y = 2$
Следовательно, данному неравенству удовлетворяет только одна точка.
Ответ: Единственная точка с координатами $(3, 2)$.

б) Преобразуем данное неравенство, выразив $y$.
Исходное неравенство: $x^2 - 4x - y + 5 \ge 0$.
Перенесем $y$ в правую часть:
$x^2 - 4x + 5 \ge y$, что эквивалентно $y \le x^2 - 4x + 5$.
Рассмотрим правую часть. Выделим в ней полный квадрат:
$x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 5 = (x - 2)^2 + 1$.
Таким образом, неравенство принимает вид:
$y \le (x - 2)^2 + 1$.
Границей этого множества является парабола, заданная уравнением $y = (x - 2)^2 + 1$. Это парабола с вершиной в точке $(2, 1)$ и ветвями, направленными вверх.
Неравенство $y \le (x - 2)^2 + 1$ определяет все точки на координатной плоскости, которые находятся на этой параболе или ниже неё.
Ответ: Множество точек, лежащих на параболе $y = (x-2)^2 + 1$ и под ней.

455. Задайте неравенством с двумя переменными:

а) круг с центром в точке (2; 0) и радиусом, равным 3;

б) множество точек, расположенных вне круга с центром в точке (0; 4) и радиусом, равным 2.

а) Чтобы задать неравенством круг, необходимо использовать каноническое уравнение окружности. Уравнение окружности с центром в точке с координатами $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$
Круг включает в себя все точки, находящиеся внутри окружности и на самой окружности. Это означает, что расстояние от любой точки круга $(x; y)$ до его центра $(x_0; y_0)$ должно быть меньше или равно радиусу $R$. Расстояние в квадрате равно $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2$. Таким образом, неравенство для круга имеет вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 \le R^2$
По условию, центр круга находится в точке $(2; 0)$, а радиус равен 3. Подставим эти значения в формулу:
$(x - 2)^2 + (y - 0)^2 \le 3^2$
Упростим выражение:
$(x - 2)^2 + y^2 \le 9$
Ответ: $(x - 2)^2 + y^2 \le 9$

б) Множество точек, расположенных вне круга, — это все точки плоскости, расстояние от которых до центра круга строго больше его радиуса.
Используем ту же логику, что и в пункте а), но со знаком строгого неравенства "больше" $(>)$.
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 > R^2$
По условию, центр круга находится в точке $(0; 4)$, а радиус равен 2. Подставим эти значения:
$(x - 0)^2 + (y - 4)^2 > 2^2$
Упростим выражение:
$x^2 + (y - 4)^2 > 4$
Ответ: $x^2 + (y - 4)^2 > 4$

456. Опишите неравенством множество точек координатной плоскости, расположенных:

а) выше параболы y = x² – 9;

б) ниже параболы y = (x + 2)².

а) Чтобы описать множество точек, расположенных выше параболы $y = x^2 - 9$, необходимо рассмотреть, как связаны координаты $(x, y)$ этих точек. Парабола является графиком функции $y = x^2 - 9$. Для любой точки, находящейся на этой параболе, её ордината $y$ в точности равна $x^2 - 9$. Для точек, расположенных выше параболы, при той же абсциссе $x$ их ордината $y$ должна быть больше, чем ордината точки на параболе. Это приводит к строгому неравенству, поскольку точки на самой параболе не входят в искомое множество.
Таким образом, множество точек, расположенных выше параболы $y = x^2 - 9$, задается неравенством: $y > x^2 - 9$.
Ответ: $y > x^2 - 9$

б) Аналогично, чтобы описать множество точек, расположенных ниже параболы $y = (x + 2)^2$, нужно установить соотношение между их координатами $(x, y)$. График функции $y = (x + 2)^2$ — это парабола. Для любой точки на этой параболе её ордината $y$ равна $(x + 2)^2$. Для точек, расположенных ниже параболы, при той же абсциссе $x$ их ордината $y$ должна быть меньше, чем ордината точки на параболе. Это условие выражается строгим неравенством.
Таким образом, множество точек, расположенных ниже параболы $y = (x + 2)^2$, задается неравенством: $y < (x + 2)^2$.
Ответ: $y < (x + 2)^2$

457. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

а) xy ≥ 0;

б) xy ‹ 0.

а)

Рассмотрим неравенство $xy \geq 0$.

Произведение двух сомножителей $x$ и $y$ является неотрицательным (то есть больше или равно нулю) в том случае, когда оба сомножителя имеют одинаковый знак или хотя бы один из них равен нулю. Это условие можно разбить на два случая, которые представляют собой совокупность двух систем неравенств:

1. Оба сомножителя неотрицательны: $x \geq 0$ и $y \geq 0$. Множество точек, удовлетворяющих этой системе, представляет собой первую координатную четверть, включая её границы — положительные полуоси $Ox$ и $Oy$ и начало координат.

2. Оба сомножителя неположительны: $x \leq 0$ и $y \leq 0$. Множество точек, удовлетворяющих этой системе, представляет собой третью координатную четверть, включая её границы — отрицательные полуоси $Ox$ и $Oy$ и начало координат.

Поскольку неравенство нестрогое ($\geq$), то точки на границе областей, где $xy = 0$ (то есть на осях координат $x=0$ и $y=0$), также являются решениями. Объединяя решения для обоих случаев, получаем искомое множество.

Ответ: Множеством решений является объединение первой и третьей координатных четвертей, включая оси координат.

б)

Рассмотрим неравенство $xy < 0$.

Произведение двух сомножителей $x$ и $y$ является отрицательным (то есть меньше нуля) в том случае, когда сомножители имеют разные знаки. Это условие также можно разбить на два случая, которые представляют собой совокупность двух систем неравенств:

1. Первый сомножитель положителен, а второй отрицателен: $x > 0$ и $y < 0$. Множество точек, удовлетворяющих этой системе, представляет собой четвертую координатную четверть.

2. Первый сомножитель отрицателен, а второй положителен: $x < 0$ и $y > 0$. Множество точек, удовлетворяющих этой системе, представляет собой вторую координатную четверть.

Поскольку неравенство строгое ($<$), то точки, в которых произведение равно нулю ($xy = 0$), не входят в множество решений. Это означает, что границы областей — оси координат $Ox$ и $Oy$ — не включаются в решение. При графическом изображении такие границы принято рисовать пунктирной линией.

Ответ: Множеством решений является объединение второй и четвертой координатных четвертей, не включая оси координат.

458. Постройте график уравнения:

а) Чтобы построить график уравнения $x^2 - y^2 = 0$, преобразуем его левую часть, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Получаем: $(x-y)(x+y) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x - y = 0$ или $x + y = 0$.

Выразим $y$ в каждом уравнении:

$y = x$ или $y = -x$.

Графиком уравнения $y=x$ является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей.

Графиком уравнения $y=-x$ является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей.

Таким образом, график исходного уравнения $x^2 - y^2 = 0$ представляет собой объединение этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся в начале координат прямых, заданных уравнениями $y = x$ и $y = -x$.

б) Уравнение $\frac{x^2 - y}{x} = 0$ представляет собой дробь, равную нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - y = 0 \\ x \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы получаем $y = x^2$. Это уравнение параболы с вершиной в начале координат $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх.

Второе условие системы, $x \neq 0$, означает, что из графика параболы $y=x^2$ необходимо исключить точку, абсцисса которой равна нулю. Найдем ординату этой точки, подставив $x=0$ в уравнение параболы: $y = 0^2 = 0$.

Следовательно, из графика нужно исключить точку с координатами $(0,0)$. Эту точку на графике принято обозначать "выколотой" или пустым кружком.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(0, 0)$.

459. Представьте в виде рациональной дроби:

Чтобы представить данное выражение в виде рациональной дроби, необходимо выполнить вычитание дробей. Для этого сначала преобразуем знаменатели и приведем дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение:

$$ \frac{x-1}{x+2} - \frac{1-x}{x^2+3x+2} $$

1. Разложим на множители квадратный трехчлен в знаменателе второй дроби: $x^2+3x+2$. Для этого найдем корни уравнения $x^2+3x+2=0$. Используя теорему Виета, находим, что сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $2$. Таким образом, корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.

Следовательно, разложение на множители имеет вид: $x^2+3x+2 = (x - (-1))(x - (-2)) = (x+1)(x+2)$.

2. Подставим разложенный знаменатель обратно в выражение:

$$ \frac{x-1}{x+2} - \frac{1-x}{(x+1)(x+2)} $$

3. Общим знаменателем для этих дробей является выражение $(x+1)(x+2)$. Приведем первую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на множитель $(x+1)$:

$$ \frac{(x-1)(x+1)}{(x+2)(x+1)} - \frac{1-x}{(x+1)(x+2)} $$

4. Теперь выполним вычитание дробей, объединив их числители под общим знаменателем:

$$ \frac{(x-1)(x+1) - (1-x)}{(x+1)(x+2)} $$

5. Раскроем скобки в числителе. $(x-1)(x+1)$ — это формула разности квадратов, равная $x^2 - 1$. Также учтем знак минуса перед второй скобкой: $-(1-x) = -1 + x$.

$$ \frac{x^2 - 1 - 1 + x}{(x+1)(x+2)} = \frac{x^2 + x - 2}{(x+1)(x+2)} $$

6. Разложим на множители получившийся числитель $x^2 + x - 2$. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-2$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Следовательно, числитель можно представить в виде: $x^2 + x - 2 = (x-1)(x - (-2)) = (x-1)(x+2)$.

7. Подставим разложенный числитель в дробь и сократим ее:

$$ \frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+2)} $$

Сокращаем общий множитель $(x+2)$ (при условии $x \neq -2$, что соответствует области допустимых значений исходного выражения).

$$ \frac{x-1}{x+1} $$

Ответ: $ \frac{x-1}{x+1} $