Страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

466. (Задача-исследование.) При каких значениях k и b система неравенств задаёт на координатной плоскости:

а) полосу; б) угол; в) прямую?

Может ли эта система не иметь решений?

1) Обсудите, какое множество точек задаёт на координатной плоскости каждое неравенство системы.

2) Выясните, при каких значениях k и b система неравенств задаёт полосу; угол; прямую.

3) Для каждого случая проиллюстрируйте свой ответ рисунком.

4) Приведите пример, когда такая система неравенств не имеет решений.

1) Обсудите, какое множество точек задаёт на координатной плоскости каждое неравенство системы.

Данная система неравенств состоит из двух линейных неравенств:

$$ \begin{cases} y \le 3x - 1 \\ y \ge kx + b \end{cases} $$

Первое неравенство $y \le 3x - 1$ задаёт на координатной плоскости замкнутую полуплоскость. Границей этой полуплоскости является прямая $y = 3x - 1$. Эта прямая имеет угловой коэффициент, равный 3, и пересекает ось ординат в точке $(0, -1)$. Неравенство включает в себя все точки, лежащие на этой прямой и ниже неё.

Второе неравенство $y \ge kx + b$ также задаёт замкнутую полуплоскость. Её границей является прямая $y = kx + b$, которая имеет угловой коэффициент $k$ и пересекает ось ординат в точке $(0, b)$. Неравенство включает в себя все точки, лежащие на этой прямой и выше неё.

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей. Вид этого пересечения зависит от взаимного расположения граничных прямых $y = 3x - 1$ и $y = kx + b$, которое, в свою очередь, определяется значениями параметров $k$ и $b$.

2) Выясните, при каких значениях k и b система неравенств задаёт полосу; угол; прямую.

а) Полоса

Полоса на плоскости — это область, заключённая между двумя параллельными прямыми. Прямые $y = 3x - 1$ и $y = kx + b$ параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент первой прямой равен 3. Следовательно, для параллельности прямых необходимо, чтобы $k = 3$.

При $k=3$ система принимает вид: $$ \begin{cases} y \le 3x - 1 \\ y \ge 3x + b \end{cases} $$

Это можно записать в виде двойного неравенства: $3x + b \le y \le 3x - 1$. Для существования решений (т.е. для того, чтобы полоса не была пустой), необходимо, чтобы нижняя граница была не больше верхней: $3x + b \le 3x - 1$, что равносильно $b \le -1$.

Если $b < -1$, то прямые $y = 3x - 1$ и $y = 3x + b$ различны, и решением является полоса между ними, включая сами прямые. Если $b = -1$, то прямые совпадают, и решением является сама прямая, а не полоса. Следовательно, система задаёт полосу при $k = 3$ и $b < -1$.

Ответ: $k = 3$, $b < -1$.

б) Угол

Угол на плоскости образуется пересечением двух непараллельных прямых. Прямые $y = 3x - 1$ и $y = kx + b$ пересекаются, если их угловые коэффициенты не равны, то есть $k \ne 3$.

При $k \ne 3$ прямые пересекутся в одной точке. Решением системы будет пересечение двух полуплоскостей, которое представляет собой угол (бесконечную область, ограниченную двумя лучами, исходящими из точки пересечения прямых). Значение параметра $b$ может быть любым, так как при $k \ne 3$ прямые всегда будут пересекаться.

Ответ: $k \ne 3$, $b$ — любое действительное число.

в) Прямая

Решением системы будет прямая в том случае, если обе граничные прямые совпадают. Прямые $y = 3x - 1$ и $y = kx + b$ совпадают, если их угловые коэффициенты и ординаты пересечения с осью Y равны. Это означает, что должны выполняться условия: $k = 3$ и $b = -1$.

При этих значениях система принимает вид: $$ \begin{cases} y \le 3x - 1 \\ y \ge 3x - 1 \end{cases} $$

Единственное решение этой системы — это $y = 3x - 1$, что и является уравнением прямой.

Ответ: $k = 3$, $b = -1$.

3) Для каждого случая проиллюстрируйте свой ответ рисунком.

а) Полоса (например, при $k=3$, $b=-3$):

На рисунке изображены две параллельные прямые $y=3x-1$ (верхняя синяя) и $y=3x-3$ (нижняя красная). Область решений системы (полоса) заштрихована голубым цветом. Она находится между этими прямыми, включая сами прямые.

б) Угол (например, при $k=1$, $b=1$):

На рисунке изображены две пересекающиеся прямые $y=3x-1$ (синяя) и $y=x+1$ (красная). Область решений системы (угол) заштрихована голубым цветом. Она находится ниже прямой $y=3x-1$ и выше прямой $y=x+1$. Вершина угла находится в точке их пересечения $(1, 2)$.

в) Прямая (при $k=3$, $b=-1$):

На рисунке изображена одна прямая $y=3x-1$. Множество решений системы совпадает с множеством точек этой прямой.

4) Приведите пример, когда такая система неравенств не имеет решений.

Система не будет иметь решений, если область, лежащая ниже первой прямой, и область, лежащая выше второй прямой, не пересекаются. Это происходит, когда прямые параллельны ($k=3$), и прямая $y=kx+b$ расположена строго выше прямой $y=3x-1$.

Рассмотрим случай $k=3$. Система имеет вид $3x + b \le y \le 3x - 1$. Мы выяснили, что для существования решений необходимо условие $b \le -1$. Если же $b > -1$, то для любого $x$ будет выполняться $3x+b > 3x-1$. Это означает, что нижняя граница для $y$ всегда больше верхней, что невозможно.

Например, возьмём $k=3$ и $b=1$. Система примет вид: $$ \begin{cases} y \le 3x - 1 \\ y \ge 3x + 1 \end{cases} $$

Переписав в виде двойного неравенства, получим $3x+1 \le y \le 3x-1$. Отсюда следует, что $3x+1 \le 3x-1$, что упрощается до $1 \le -1$. Это неверное числовое неравенство, следовательно, система не имеет решений ни при каких $x$ и $y$.

Геометрически это иллюстрируется на рисунке ниже, где полуплоскость $y \le 3x - 1$ (закрашена красным) и полуплоскость $y \ge 3x + 1$ (закрашена синим) не имеют общих точек.

Ответ: Да, система может не иметь решений. Это происходит при $k=3$ и $b > -1$. Например, при $k=3$ и $b=1$.

467. Задайте системой неравенств:

а) треугольник, изображённый на рисунке 65, а;

б) кольцо, изображённое на рисунке 65, б.

а)

Заданный на рисунке треугольник ограничен тремя прямыми. Для того чтобы задать его системой неравенств, найдем уравнения этих прямых.

Вершины треугольника находятся в точках с координатами $(-2, 0)$, $(2, 0)$ и $(0, 3)$.

1. Нижняя сторона треугольника лежит на оси абсцисс ($x$). Уравнение этой прямой — $y=0$. Поскольку область (треугольник) расположена выше этой прямой, первое неравенство системы будет $y \ge 0$. Граница включена, так как линия сплошная.

2. Правая сторона треугольника проходит через точки $(2, 0)$ и $(0, 3)$. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно найти по формуле: $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}$.

Подставим координаты точек $(2, 0)$ и $(0, 3)$:

$\frac{x-2}{0-2} = \frac{y-0}{3-0}$

$\frac{x-2}{-2} = \frac{y}{3}$

$3(x-2) = -2y$

$3x - 6 = -2y$, или $3x + 2y = 6$.

Чтобы определить знак неравенства, возьмем любую точку внутри треугольника, например $(0, 1)$. Подставим ее координаты в выражение $3x + 2y$: $3(0) + 2(1) = 2$. Так как $2 \le 6$, то неравенство для этой стороны будет $3x + 2y \le 6$.

3. Левая сторона треугольника проходит через точки $(-2, 0)$ и $(0, 3)$. Аналогично найдем уравнение этой прямой:

$\frac{x-(-2)}{0-(-2)} = \frac{y-0}{3-0}$

$\frac{x+2}{2} = \frac{y}{3}$

$3(x+2) = 2y$

$3x + 6 = 2y$, или $3x - 2y = -6$.

Снова проверим с помощью точки $(0, 1)$: $3(0) - 2(1) = -2$. Так как $-2 \ge -6$, то неравенство для этой стороны будет $3x - 2y \ge -6$.

Объединив все три неравенства, получаем искомую систему:

Ответ: $\begin{cases} y \ge 0 \\ 3x + 2y \le 6 \\ 3x - 2y \ge -6 \end{cases}$

б)

Фигура, изображенная на рисунке, представляет собой кольцо. Это область, заключенная между двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат $(0, 0)$.

Уравнение окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $x^2 + y^2 = R^2$.

1. Внутренняя окружность. Из графика видно, что она проходит через точки $(5, 0)$, $(-5, 0)$, $(0, 5)$ и $(0, -5)$. Следовательно, ее радиус $R_1 = 5$. Уравнение этой окружности: $x^2 + y^2 = 5^2 = 25$.

2. Внешняя окружность. Она проходит через точки $(10, 0)$, $(-10, 0)$, $(0, 10)$ и $(0, -10)$. Ее радиус $R_2 = 10$. Уравнение этой окружности: $x^2 + y^2 = 10^2 = 100$.

Заштрихованная область находится вне (или на границе) внутренней окружности и внутри (или на границе) внешней окружности. Это можно описать системой неравенств:

– Точки, лежащие на и вне внутренней окружности, удовлетворяют неравенству $x^2 + y^2 \ge 25$.

– Точки, лежащие на и внутри внешней окружности, удовлетворяют неравенству $x^2 + y^2 \le 100$.

Так как обе границы сплошные, неравенства являются нестрогими. Эту систему можно записать в виде двойного неравенства.

Ответ: $25 \le x^2 + y^2 \le 100$

468. Одна из сторон острого угла проходит через точки (0; 0) и (3; 3), а другая — через точки (0; –2) и (3; –2). Задайте этот угол системой неравенств.

Для того чтобы задать угол системой неравенств, нам необходимо сначала найти уравнения прямых, на которых лежат стороны этого угла.

1. Найдем уравнение первой прямой, проходящей через точки $(0; 0)$ и $(3; 3)$.
Уравнение прямой в общем виде: $y = kx + b$.
Подставим координаты точки $(0; 0)$: $0 = k \cdot 0 + b$, откуда $b = 0$.
Уравнение принимает вид $y = kx$.
Подставим координаты точки $(3; 3)$: $3 = k \cdot 3$, откуда угловой коэффициент $k = 1$.
Таким образом, уравнение первой прямой: $y = x$.

2. Найдем уравнение второй прямой, проходящей через точки $(0; -2)$ и $(3; -2)$.
Снова используем уравнение $y = kx + b$.
Подставим координаты точки $(0; -2)$: $-2 = k \cdot 0 + b$, откуда $b = -2$.
Уравнение принимает вид $y = kx - 2$.
Подставим координаты точки $(3; -2)$: $-2 = k \cdot 3 - 2$, откуда $3k = 0$ и $k = 0$.
Таким образом, уравнение второй прямой: $y = -2$.

3. Найдем вершину угла, которая является точкой пересечения этих двух прямых. Для этого решим систему уравнений:

$\begin{cases}y = x \\y = -2\end{cases}$

Из системы следует, что $x = -2$ и $y = -2$. Значит, вершина угла находится в точке $(-2; -2)$.

4. Зададим область, соответствующую углу. Угол образован лучами, выходящими из вершины $(-2; -2)$. Первый луч лежит на прямой $y=x$ и проходит через точки $(0;0)$ и $(3;3)$, то есть идет в сторону увеличения $x$. Второй луч лежит на прямой $y=-2$ и проходит через точки $(0;-2)$ и $(3;-2)$, также в сторону увеличения $x$.
Искомый угол — это область плоскости, заключенная между этими двумя лучами. Эта область находится одновременно "под" или на прямой $y=x$ и "над" или на прямой $y=-2$.
"Под" или на прямой $y=x$ описывается неравенством $y \le x$.
"Над" или на прямой $y=-2$ описывается неравенством $y \ge -2$.
Объединив эти два неравенства, получим систему, которая и задает искомый острый угол.

Ответ:$\begin{cases}y \le x \\y \ge -2\end{cases}$

469. Решите уравнение:

а) $(x + 2)^2 + 9(x + 2) + 20 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно выражения $(x + 2)$. Для упрощения решения введем новую переменную. Пусть $y = x + 2$.

После замены уравнение принимает вид стандартного квадратного уравнения:

$y^2 + 9y + 20 = 0$

Решим это уравнение относительно переменной $y$. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 1}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$y_2 = \frac{-9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Теперь необходимо вернуться к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену для каждого найденного корня $y$.

1. Для $y_1 = -5$:

$x + 2 = -5$

$x = -5 - 2$

$x_1 = -7$

2. Для $y_2 = -4$:

$x + 2 = -4$

$x = -4 - 2$

$x_2 = -6$

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: -7 и -6.

Ответ: -7; -6.

б) $(x - 5)^2 + 2(x - 5) - 63 = 0$

Это уравнение также можно решить методом замены переменной, так как оно является квадратным относительно выражения $(x - 5)$. Пусть $z = x - 5$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$z^2 + 2z - 63 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их, используя $\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$:

$z_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 16}{2 \cdot 1} = \frac{-18}{2} = -9$

$z_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 16}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

1. Для $z_1 = -9$:

$x - 5 = -9$

$x = -9 + 5$

$x_1 = -4$

2. Для $z_2 = 7$:

$x - 5 = 7$

$x = 7 + 5$

$x_2 = 12$

Следовательно, корнями исходного уравнения являются числа -4 и 12.

Ответ: -4; 12.

470. Найдите область определения функции y = x - 5+15 - x.

Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл.

Данная функция $y = \sqrt{x - 5} + \sqrt{15 - x}$ содержит два квадратных корня. Выражение под знаком квадратного корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю.

Следовательно, для нахождения области определения функции необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательными. Это приводит к системе из двух неравенств:

$ \begin{cases} x - 5 \ge 0 \\ 15 - x \ge 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решаем первое неравенство:
$x - 5 \ge 0$
$x \ge 5$

2. Решаем второе неравенство:
$15 - x \ge 0$
$15 \ge x$
Это неравенство можно переписать в более привычном виде: $x \le 15$.

Теперь необходимо найти общее решение для обоих неравенств, то есть найти пересечение множеств решений $x \ge 5$ и $x \le 15$. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$5 \le x \le 15$

Это означает, что переменная $x$ может принимать любые значения из отрезка от 5 до 15, включая концы отрезка.

Ответ: $x \in [5; 15]$.

471. Докажите, что для любого значения х верно неравенство

6x (x + 8) – (5x – 27)(x + 17) › 0.

Чтобы доказать, что неравенство $6x(x + 8) - (5x - 27)(x + 17) > 0$ верно для любого значения $x$, мы преобразуем его левую часть.

1. Раскроем скобки в выражении. Сначала раскроем первое произведение:

$6x(x + 8) = 6x \cdot x + 6x \cdot 8 = 6x^2 + 48x$

2. Теперь раскроем произведение двух скобок:

$(5x - 27)(x + 17) = 5x \cdot x + 5x \cdot 17 - 27 \cdot x - 27 \cdot 17 = 5x^2 + 85x - 27x - 459 = 5x^2 + 58x - 459$

3. Подставим полученные выражения обратно в исходное неравенство:

$(6x^2 + 48x) - (5x^2 + 58x - 459) > 0$

4. Раскроем вторые скобки, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные, так как перед скобкой стоит знак «минус»:

$6x^2 + 48x - 5x^2 - 58x + 459 > 0$

5. Приведем подобные слагаемые:

$(6x^2 - 5x^2) + (48x - 58x) + 459 > 0$

$x^2 - 10x + 459 > 0$

6. Теперь нам нужно доказать, что полученное квадратное неравенство верно для любого $x$. Для этого выделим полный квадрат в левой части:

Чтобы из выражения $x^2 - 10x$ получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $(\frac{10}{2})^2 = 5^2 = 25$.

$x^2 - 10x + 25 - 25 + 459 > 0$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют формулу квадрата разности, и вычислим сумму оставшихся чисел:

$(x^2 - 10x + 25) + (-25 + 459) > 0$

$(x - 5)^2 + 434 > 0$

7. Проанализируем полученное неравенство. Выражение $(x - 5)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(x - 5)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.

Минимальное значение выражения $(x - 5)^2$ равно 0 (достигается при $x=5$).

Следовательно, минимальное значение всей левой части неравенства равно $0 + 434 = 434$.

Так как $434 > 0$, то и выражение $(x - 5)^2 + 434$ всегда будет больше нуля для любого значения $x$.

Таким образом, исходное неравенство $6x(x+8) - (5x-27)(x+17) > 0$ верно при любом значении $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.