Номер 469, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. 24. Системы неравенств с двумя переменными - номер 469, страница 138.

Условие.

469. Решите уравнение:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $(x + 2)^2 + 9(x + 2) + 20 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно выражения $(x + 2)$. Для упрощения решения введем новую переменную. Пусть $y = x + 2$.

После замены уравнение принимает вид стандартного квадратного уравнения:

$y^2 + 9y + 20 = 0$

Решим это уравнение относительно переменной $y$. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 1}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$y_2 = \frac{-9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Теперь необходимо вернуться к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену для каждого найденного корня $y$.

1. Для $y_1 = -5$:

$x + 2 = -5$

$x = -5 - 2$

$x_1 = -7$

2. Для $y_2 = -4$:

$x + 2 = -4$

$x = -4 - 2$

$x_2 = -6$

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: -7 и -6.

Ответ: -7; -6.

б) $(x - 5)^2 + 2(x - 5) - 63 = 0$

Это уравнение также можно решить методом замены переменной, так как оно является квадратным относительно выражения $(x - 5)$. Пусть $z = x - 5$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$z^2 + 2z - 63 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их, используя $\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$:

$z_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 16}{2 \cdot 1} = \frac{-18}{2} = -9$

$z_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 16}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

1. Для $z_1 = -9$:

$x - 5 = -9$

$x = -9 + 5$

$x_1 = -4$

2. Для $z_2 = 7$:

$x - 5 = 7$

$x = 7 + 5$

$x_2 = 12$

Следовательно, корнями исходного уравнения являются числа -4 и 12.

Ответ: -4; 12.