Номер 472, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

472. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} (x - 2y)(x + 3y) = 0, \\ x^2 - y^2 = 12. \end{cases} $
Первое уравнение системы распадается на два случая, так как произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Случай 1: $x - 2y = 0$
Отсюда $x = 2y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(2y)^2 - y^2 = 12$
$4y^2 - y^2 = 12$
$3y^2 = 12$
$y^2 = 4$
$y_1 = 2$ или $y_2 = -2$.
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 \cdot 2 = 4$.
Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 2 \cdot (-2) = -4$.
Получили две пары решений: $(4, 2)$ и $(-4, -2)$.

Случай 2: $x + 3y = 0$
Отсюда $x = -3y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(-3y)^2 - y^2 = 12$
$9y^2 - y^2 = 12$
$8y^2 = 12$
$y^2 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$
$y_3 = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ или $y_4 = -\sqrt{\frac{3}{2}} = -\frac{\sqrt{6}}{2}$.
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_3 = \frac{\sqrt{6}}{2}$, то $x_3 = -3 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = -\frac{3\sqrt{6}}{2}$.
Если $y_4 = -\frac{\sqrt{6}}{2}$, то $x_4 = -3 \cdot (-\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{3\sqrt{6}}{2}$.
Получили еще две пары решений: $(-\frac{3\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ и $(\frac{3\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{6}}{2})$.

Ответ: $(4, 2)$, $(-4, -2)$, $(-\frac{3\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2})$, $(\frac{3\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{6}}{2})$.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 - 4xy + 3y^2 + 2x - 6y = 0, \\ x^2 - xy + y^2 = 7. \end{cases} $
Преобразуем первое уравнение, разложив его на множители. Сгруппируем слагаемые:
$(x^2 - 4xy + 3y^2) + (2x - 6y) = 0$
Разложим на множители квадратичную часть $x^2 - 4xy + 3y^2$. Решив квадратное уравнение $t^2 - 4t + 3 = 0$ относительно $t=x/y$, найдем корни $t_1=1, t_2=3$. Таким образом, $x^2 - 4xy + 3y^2 = (x-y)(x-3y)$.
Во второй группе вынесем общий множитель $2$: $2x - 6y = 2(x-3y)$.
Уравнение принимает вид:
$(x - y)(x - 3y) + 2(x - 3y) = 0$
Вынесем общий множитель $(x - 3y)$:
$(x - 3y)(x - y + 2) = 0$
Это уравнение распадается на два случая.

Случай 1: $x - 3y = 0$
Отсюда $x = 3y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(3y)^2 - (3y)y + y^2 = 7$
$9y^2 - 3y^2 + y^2 = 7$
$7y^2 = 7$
$y^2 = 1$
$y_1 = 1$ или $y_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 3 \cdot 1 = 3$.
Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 3 \cdot (-1) = -3$.
Получили две пары решений: $(3, 1)$ и $(-3, -1)$.

Случай 2: $x - y + 2 = 0$
Отсюда $x = y - 2$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(y - 2)^2 - (y - 2)y + y^2 = 7$
$(y^2 - 4y + 4) - (y^2 - 2y) + y^2 = 7$
$y^2 - 4y + 4 - y^2 + 2y + y^2 = 7$
$y^2 - 2y + 4 = 7$
$y^2 - 2y - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $y_3 = 3$ и $y_4 = -1$.
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_3 = 3$, то $x_3 = 3 - 2 = 1$.
Если $y_4 = -1$, то $x_4 = -1 - 2 = -3$.
Получили еще две пары решений: $(1, 3)$ и $(-3, -1)$.
Решение $(-3, -1)$ уже было получено в первом случае.

Объединяя все уникальные решения, получаем ответ.
Ответ: $(3, 1)$, $(-3, -1)$, $(1, 3)$.