Номер 477, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 477, страница 143.

Условие.

477. Решите систему уравнений:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + xy = 6 \\ y^2 + xy = 3 \end{cases} $
Сложим первое и второе уравнения системы:
$(x^2 + xy) + (y^2 + xy) = 6 + 3$
$x^2 + 2xy + y^2 = 9$
Это формула квадрата суммы: $(x+y)^2 = 9$.
Отсюда получаем два возможных случая: $x+y = 3$ или $x+y = -3$.

Теперь вычтем второе уравнение из первого:
$(x^2 + xy) - (y^2 + xy) = 6 - 3$
$x^2 - y^2 = 3$
Это формула разности квадратов: $(x-y)(x+y) = 3$.

Рассмотрим каждый случай для $x+y$:

1) Пусть $x+y = 3$. Подставим это значение в уравнение $(x-y)(x+y) = 3$:
$(x-y) \cdot 3 = 3$
$x-y = 1$
Теперь у нас есть система линейных уравнений:
$ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 1 \end{cases} $
Сложив эти два уравнения, получим $2x = 4$, откуда $x=2$.
Подставив $x=2$ в первое уравнение $x+y=3$, получим $2+y=3$, откуда $y=1$.
Первое решение: $(2, 1)$.

2) Пусть $x+y = -3$. Подставим это значение в уравнение $(x-y)(x+y) = 3$:
$(x-y) \cdot (-3) = 3$
$x-y = -1$
Теперь у нас есть система линейных уравнений:
$ \begin{cases} x+y = -3 \\ x-y = -1 \end{cases} $
Сложив эти два уравнения, получим $2x = -4$, откуда $x=-2$.
Подставив $x=-2$ в первое уравнение $x+y=-3$, получим $-2+y=-3$, откуда $y=-1$.
Второе решение: $(-2, -1)$.

Ответ: $(2, 1), (-2, -1)$.

б)

Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 - xy = 7 \\ y^2 - xy = 9 \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого:
$(x^2 - xy) - (y^2 - xy) = 7 - 9$
$x^2 - y^2 = -2$
Это формула разности квадратов: $(x-y)(x+y) = -2$.

Сложим первое и второе уравнения системы:
$(x^2 - xy) + (y^2 - xy) = 7 + 9$
$x^2 - 2xy + y^2 = 16$
Это формула квадрата разности: $(x-y)^2 = 16$.
Отсюда получаем два возможных случая: $x-y = 4$ или $x-y = -4$.

Рассмотрим каждый случай для $x-y$:

1) Пусть $x-y = 4$. Подставим это значение в уравнение $(x-y)(x+y) = -2$:
$4 \cdot (x+y) = -2$
$x+y = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$
Теперь у нас есть система линейных уравнений:
$ \begin{cases} x-y = 4 \\ x+y = -1/2 \end{cases} $
Сложив эти два уравнения, получим $2x = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$, откуда $x = \frac{7}{4}$.
Подставив $x = \frac{7}{4}$ в уравнение $x+y = -1/2$, получим $\frac{7}{4} + y = -\frac{1}{2}$, откуда $y = -\frac{1}{2} - \frac{7}{4} = -\frac{2}{4} - \frac{7}{4} = -\frac{9}{4}$.
Первое решение: $(\frac{7}{4}, -\frac{9}{4})$.

2) Пусть $x-y = -4$. Подставим это значение в уравнение $(x-y)(x+y) = -2$:
$-4 \cdot (x+y) = -2$
$x+y = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$
Теперь у нас есть система линейных уравнений:
$ \begin{cases} x-y = -4 \\ x+y = 1/2 \end{cases} $
Сложив эти два уравнения, получим $2x = -4 + \frac{1}{2} = -\frac{7}{2}$, откуда $x = -\frac{7}{4}$.
Подставив $x = -\frac{7}{4}$ в уравнение $x+y = 1/2$, получим $-\frac{7}{4} + y = \frac{1}{2}$, откуда $y = \frac{1}{2} + \frac{7}{4} = \frac{2}{4} + \frac{7}{4} = \frac{9}{4}$.
Второе решение: $(-\frac{7}{4}, \frac{9}{4})$.

Ответ: $(\frac{7}{4}, -\frac{9}{4}), (-\frac{7}{4}, \frac{9}{4})$.