Номер 479, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 479, страница 143.

Условие.

479. Найдите множество решений системы:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Дана система уравнений:
$$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 7 \\ x + xy + y = 5 \end{cases}$$
Это симметрическая система, так как при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$ уравнения не меняются. Для решения таких систем удобно использовать замену, основанную на элементарных симметрических многочленах. Введем новые переменные: пусть $u = x + y$ и $v = xy$.
Выразим каждое уравнение системы через $u$ и $v$.
Второе уравнение: $x + y + xy = 5 \implies u + v = 5$.
Для преобразования первого уравнения воспользуемся тождеством $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.
Тогда первое уравнение примет вид: $(u^2 - 2v) + v = 7 \implies u^2 - v = 7$.

Теперь мы имеем систему уравнений относительно $u$ и $v$:
$$ \begin{cases} u + v = 5 \\ u^2 - v = 7 \end{cases}$$
Из первого уравнения выразим $v$: $v = 5 - u$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$u^2 - (5 - u) = 7$
$u^2 + u - 5 = 7$
$u^2 + u - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $u$. По теореме Виета, его корни: $u_1 = 3$ и $u_2 = -4$.
Рассмотрим два случая:

1. Если $u = 3$, то $v = 5 - u = 5 - 3 = 2$.
Теперь вернемся к исходным переменным. $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - ut + v = 0$.
$t^2 - 3t + 2 = 0$
Корни этого уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.
Следовательно, решениями исходной системы являются пары $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

2. Если $u = -4$, то $v = 5 - u = 5 - (-4) = 9$.
Соответствующее квадратное уравнение для $t$:
$t^2 - (-4)t + 9 = 0$
$t^2 + 4t + 9 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20$.
Поскольку $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней. Значит, в этом случае система не имеет действительных решений.

Таким образом, множество решений системы состоит из двух пар чисел.
Ответ: $\{(1, 2), (2, 1)\}$.

б) Дана система уравнений:
$$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 19 \\ x + xy + y = 1 \end{cases}$$
Эта система также является симметрической. Применим тот же метод замены переменных: $u = x + y$, $v = xy$.
Преобразуем систему:
Второе уравнение: $x + y + xy = 1 \implies u + v = 1$.
Первое уравнение: $x^2 + y^2 + xy = 19 \implies (u^2 - 2v) + v = 19 \implies u^2 - v = 19$.

Получаем новую систему для $u$ и $v$:
$$ \begin{cases} u + v = 1 \\ u^2 - v = 19 \end{cases}$$
Из первого уравнения $v = 1 - u$.
Подставляем во второе уравнение:
$u^2 - (1 - u) = 19$
$u^2 + u - 1 = 19$
$u^2 + u - 20 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $u_1 = 4$ и $u_2 = -5$.
Рассмотрим два случая:

1. Если $u = 4$, то $v = 1 - u = 1 - 4 = -3$.
Переменные $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - ut + v = 0$:
$t^2 - 4t - 3 = 0$
Найдем корни по формуле для корней квадратного уравнения:
$t = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$.
Таким образом, мы получаем две пары решений: $(2 + \sqrt{7}, 2 - \sqrt{7})$ и $(2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7})$.

2. Если $u = -5$, то $v = 1 - u = 1 - (-5) = 6$.
Переменные $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - ut + v = 0$:
$t^2 - (-5)t + 6 = 0$
$t^2 + 5t + 6 = 0$
Корни этого уравнения, по теореме Виета, $t_1 = -2$, $t_2 = -3$.
Это дает еще две пары решений: $(-2, -3)$ и $(-3, -2)$.

Таким образом, множество решений системы состоит из четырех пар чисел.
Ответ: $\{(-3, -2), (-2, -3), (2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7}), (2 + \sqrt{7}, 2 - \sqrt{7})\}$.