Номер 486, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

486. При каком значении a окружность (x – a)² + (y – 3)² = 16 проходит через точку:

а) A(2; 3);

б) B(7; –1);

в) C(–2; 7);

г) D(1; 5)?

Для того чтобы окружность проходила через определенную точку, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению окружности. Мы будем подставлять координаты каждой точки в уравнение $(x-a)^2 + (y-3)^2 = 16$ и решать полученное уравнение относительно переменной $a$.

а) A(2; 3)

Подставим координаты точки $A(2; 3)$ в уравнение окружности, где $x=2$ и $y=3$:

$(2 - a)^2 + (3 - 3)^2 = 16$

$(2 - a)^2 + 0^2 = 16$

$(2 - a)^2 = 16$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$2 - a = 4$ или $2 - a = -4$

Решим каждое уравнение:

1) $2 - a = 4 \implies a = 2 - 4 \implies a = -2$

2) $2 - a = -4 \implies a = 2 - (-4) \implies a = 2 + 4 \implies a = 6$

Ответ: $a = -2$ или $a = 6$.

б) B(7; –1)

Подставим координаты точки $B(7; -1)$ в уравнение окружности, где $x=7$ и $y=-1$:

$(7 - a)^2 + (-1 - 3)^2 = 16$

$(7 - a)^2 + (-4)^2 = 16$

$(7 - a)^2 + 16 = 16$

$(7 - a)^2 = 16 - 16$

$(7 - a)^2 = 0$

Извлечем квадратный корень:

$7 - a = 0$

$a = 7$

Ответ: $a = 7$.

в) C(–2; 7)

Подставим координаты точки $C(-2; 7)$ в уравнение окружности, где $x=-2$ и $y=7$:

$(-2 - a)^2 + (7 - 3)^2 = 16$

$(-2 - a)^2 + 4^2 = 16$

$(-2 - a)^2 + 16 = 16$

$(-2 - a)^2 = 0$

Извлечем квадратный корень:

$-2 - a = 0$

$a = -2$

Ответ: $a = -2$.

г) D(1; 5)

Подставим координаты точки $D(1; 5)$ в уравнение окружности, где $x=1$ и $y=5$:

$(1 - a)^2 + (5 - 3)^2 = 16$

$(1 - a)^2 + 2^2 = 16$

$(1 - a)^2 + 4 = 16$

$(1 - a)^2 = 12$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$1 - a = \sqrt{12}$ или $1 - a = -\sqrt{12}$

Упростим корень: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

Решим каждое уравнение:

1) $1 - a = 2\sqrt{3} \implies a = 1 - 2\sqrt{3}$

2) $1 - a = -2\sqrt{3} \implies a = 1 + 2\sqrt{3}$

Ответ: $a = 1 - 2\sqrt{3}$ или $a = 1 + 2\sqrt{3}$.