Страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

481. Докажите, что уравнение не имеет решений:

а) $x^2 + 4xy + 4y^2 + 5 = 0$

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полный квадрат. Заметим, что первые три слагаемых образуют формулу квадрата суммы: $x^2 + 4xy + 4y^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = (x + 2y)^2$.

Подставим это выражение обратно в уравнение: $(x + 2y)^2 + 5 = 0$.

Выражение $(x + 2y)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(x + 2y)^2 \ge 0$ для любых значений $x$ и $y$.

Следовательно, левая часть уравнения $(x + 2y)^2 + 5$ всегда будет больше или равна 5: $(x + 2y)^2 + 5 \ge 0 + 5 = 5$.

Таким образом, левая часть уравнения никогда не может быть равна нулю.

Ответ: Уравнение не имеет решений, так как сумма неотрицательного числа $(x + 2y)^2$ и положительного числа 5 не может быть равна нулю.

б) $x^2 - 2xy + 8 + y^2 = 0$

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения, чтобы выделить полный квадрат: $(x^2 - 2xy + y^2) + 8 = 0$.

Выражение в скобках представляет собой квадрат разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.

Уравнение принимает вид: $(x - y)^2 + 8 = 0$.

Так как $(x - y)^2$ — это квадрат действительного числа, его значение всегда неотрицательно: $(x - y)^2 \ge 0$.

Поэтому левая часть уравнения $(x - y)^2 + 8$ всегда больше или равна 8: $(x - y)^2 + 8 \ge 0 + 8 = 8$.

Это означает, что левая часть уравнения не может равняться нулю.

Ответ: Уравнение не имеет решений, поскольку сумма неотрицательного числа $(x - y)^2$ и положительного числа 8 всегда положительна.

в) $x^2 - 2x + y^2 - 4y + 6 = 0$

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$: $(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) + 6 = 0$.

Дополним каждую группу до полного квадрата: Для $x$: $x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x - 1)^2 - 1$. Для $y$: $y^2 - 4y = (y^2 - 4y + 4) - 4 = (y - 2)^2 - 4$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение: $((x - 1)^2 - 1) + ((y - 2)^2 - 4) + 6 = 0$ $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 1 - 4 + 6 = 0$ $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 1 = 0$.

Выражения $(x - 1)^2$ и $(y - 2)^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому они неотрицательны: $(x - 1)^2 \ge 0$ и $(y - 2)^2 \ge 0$.

Их сумма также неотрицательна: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \ge 0$.

Тогда левая часть уравнения $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 1$ всегда будет больше или равна 1: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.

Следовательно, левая часть не может быть равна нулю.

Ответ: Уравнение не имеет решений, так как сумма двух неотрицательных чисел $((x-1)^2$ и $(y-2)^2)$ и положительного числа 1 не может равняться нулю.

г) $x^2y^2 - 2xy + 3 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $z = xy$. Тогда уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $z$: $z^2 - 2z + 3 = 0$.

Для решения этого квадратного уравнения можно найти его дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Так как дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней для $z$.

Другой способ — выделить полный квадрат: $z^2 - 2z + 3 = (z^2 - 2z + 1) + 2 = (z - 1)^2 + 2$. Уравнение принимает вид $(z - 1)^2 + 2 = 0$.

Выражение $(z - 1)^2$ всегда неотрицательно: $(z - 1)^2 \ge 0$. Следовательно, левая часть уравнения $(z - 1)^2 + 2$ всегда больше или равна 2: $(z - 1)^2 + 2 \ge 2$. Левая часть не может равняться нулю.

Поскольку не существует такого действительного числа $z$, которое удовлетворяло бы уравнению, а $z=xy$, то не существует и таких действительных чисел $x$ и $y$, для которых исходное уравнение было бы верным.

Ответ: Уравнение не имеет решений, так как после замены $z = xy$ получается квадратное уравнение $z^2 - 2z + 3 = 0$, которое не имеет действительных корней (его дискриминант отрицателен).

482. Докажите, что уравнение имеет единственное решение:

а) Рассмотрим уравнение $x^2 + y^2 + 2x + 1 = 0$. Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты. Выражение $x^2 + 2x + 1$ представляет собой полный квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.
Теперь перепишем исходное уравнение, используя это преобразование:
$(x^2 + 2x + 1) + y^2 = 0$
$(x+1)^2 + y^2 = 0$
В левой части уравнения находится сумма двух квадратов. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x+1)^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных выражений может быть равна нулю только в том случае, если каждое из этих выражений равно нулю. Таким образом, мы получаем систему уравнений:
$\begin{cases} (x+1)^2 = 0 \\ y^2 = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения следует, что $x+1 = 0$, откуда $x = -1$.
Из второго уравнения следует, что $y = 0$.
Следовательно, уравнение имеет единственное решение — пару чисел $(-1, 0)$, что и требовалось доказать.
Ответ: Единственное решение уравнения - это пара чисел $x = -1, y = 0$.

б) Рассмотрим уравнение $x^2 - 2x + y^2 + 4y + 5 = 0$. Преобразуем уравнение, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$. Для этого сгруппируем слагаемые:
$(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) + 5 = 0$
Чтобы выделить полный квадрат для $x$, нам нужно выражение $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.
Чтобы выделить полный квадрат для $y$, нам нужно выражение $y^2 + 4y + 4 = (y+2)^2$.
Представим число 5 в исходном уравнении как сумму $1+4$ и перегруппируем слагаемые:
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 0$
Теперь заменим выражения в скобках на квадраты:
$(x-1)^2 + (y+2)^2 = 0$
Мы снова получили уравнение, в левой части которого стоит сумма двух квадратов. Поскольку $(x-1)^2 \ge 0$ и $(y+2)^2 \ge 0$, их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю. Это приводит к системе уравнений:
$\begin{cases} (x-1)^2 = 0 \\ (y+2)^2 = 0 \end{cases}$
Решая эту систему, находим:
$x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$
$y+2 = 0 \Rightarrow y = -2$
Таким образом, уравнение имеет единственное решение — пару чисел $(1, -2)$, что и требовалось доказать.
Ответ: Единственное решение уравнения - это пара чисел $x = 1, y = -2$.

483. Составьте уравнение, графиком которого является:

а) пара прямых y = x + 5 и y = x – 5;

б) окружность x² + y² = 4 и пара прямых y = –3 и y = 3;

в) гипербола xy = 6 и окружность x² + y² = 1.

а)

Чтобы составить одно уравнение, графиком которого является пара прямых $y = x + 5$ и $y = x - 5$, нужно сначала представить каждое уравнение в виде, где правая часть равна нулю:
$y - x - 5 = 0$
$y - x + 5 = 0$
Объединение графиков двух уравнений $F(x, y) = 0$ и $G(x, y) = 0$ задается уравнением $F(x, y) \cdot G(x, y) = 0$. Это связано с тем, что произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Применим этот принцип к нашим уравнениям:
$(y - x - 5)(y - x + 5) = 0$
Мы можем заметить, что это выражение соответствует формуле разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = y - x$ и $b = 5$.
$(y - x)^2 - 5^2 = 0$
$(y - x)^2 - 25 = 0$
Раскроем скобки для получения окончательного вида уравнения:
$y^2 - 2xy + x^2 - 25 = 0$
Или, в более привычном порядке:
$x^2 - 2xy + y^2 - 25 = 0$

Ответ: $x^2 - 2xy + y^2 - 25 = 0$.

б)

Требуется составить уравнение, описывающее объединение окружности $x^2 + y^2 = 4$ и пары прямых $y = -3$ и $y = 3$.
Сначала запишем все компоненты в виде уравнений с нулем в правой части.
Уравнение окружности: $x^2 + y^2 - 4 = 0$.
Для пары прямых $y = -3$ и $y = 3$ сначала составим общее уравнение.
$y + 3 = 0$ и $y - 3 = 0$.
Перемножив левые части, получим уравнение для пары прямых:
$(y + 3)(y - 3) = 0$
$y^2 - 9 = 0$
Теперь, чтобы объединить график окружности и график пары прямых, перемножим левые части их уравнений:
$(x^2 + y^2 - 4)(y^2 - 9) = 0$
Это уравнение является искомым. Точка $(x, y)$ будет принадлежать графику, если ее координаты удовлетворяют либо уравнению окружности ($x^2 + y^2 - 4 = 0$), либо уравнению пары прямых ($y^2 - 9 = 0$).

Ответ: $(x^2 + y^2 - 4)(y^2 - 9) = 0$.

в)

Графиком искомого уравнения является объединение гиперболы $xy = 6$ и окружности $x^2 + y^2 = 1$.
Представим уравнения этих фигур в виде $F(x, y) = 0$:
Уравнение гиперболы: $xy - 6 = 0$.
Уравнение окружности: $x^2 + y^2 - 1 = 0$.
Используя тот же принцип, что и в предыдущих пунктах, перемножим левые части уравнений, чтобы получить уравнение, описывающее их объединение:
$(xy - 6)(x^2 + y^2 - 1) = 0$
Данное уравнение выполняется, если точка $(x, y)$ принадлежит либо гиперболе ($xy - 6 = 0$), либо окружности ($x^2 + y^2 - 1 = 0$).

Ответ: $(xy - 6)(x^2 + y^2 - 1) = 0$.

484. Постройте график уравнения:

а) Для построения графика уравнения $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0$ преобразуем его, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) + 5 = 0$.
Дополним каждую группу до полного квадрата. Для этого используем формулы $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Для группы с $x$: $x^2 - 2x = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (x - 1)^2 - 1$.
Для группы с $y$: $y^2 - 4y = (y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) - 2^2 = (y - 2)^2 - 4$.
Подставим полученные выражения обратно в уравнение:
$((x - 1)^2 - 1) + ((y - 2)^2 - 4) + 5 = 0$.
Упростим выражение:
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 1 - 4 + 5 = 0$
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 0$.
Это уравнение соответствует стандартному уравнению окружности $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. В нашем случае центр окружности находится в точке $(1, 2)$, а радиус $R = \sqrt{0} = 0$. Окружность с нулевым радиусом представляет собой одну точку — её центр. Следовательно, графиком данного уравнения является точка с координатами $(1, 2)$.
Ответ: Графиком уравнения является точка $(1, 2)$.

б) Рассмотрим уравнение $y^2 - x^4 = 0$.
Это уравнение можно преобразовать, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Заметим, что $x^4 = (x^2)^2$.
$y^2 - (x^2)^2 = 0$
$(y - x^2)(y + x^2) = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение распадается на совокупность двух уравнений:
1) $y - x^2 = 0$, откуда $y = x^2$.
2) $y + x^2 = 0$, откуда $y = -x^2$.
Графиком уравнения $y = x^2$ является парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх.
Графиком уравнения $y = -x^2$ является парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вниз.
Следовательно, график исходного уравнения представляет собой объединение этих двух парабол, которые симметричны друг другу относительно оси абсцисс (оси Ox) и пересекаются в точке $(0, 0)$.
Ответ: Графиком уравнения является объединение двух парабол: $y = x^2$ и $y = -x^2$.

485. Постройте график уравнения:

а)

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Поэтому уравнение $\frac{y - x}{x - 2} = 0$ равносильно системе:
$\begin{cases} y - x = 0, \\ x - 2 \neq 0. \end{cases}$
Из первого уравнения системы получаем $y = x$. Это уравнение прямой, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.
Из второго условия $x - 2 \neq 0$ следует, что $x \neq 2$.
Таким образом, из графика прямой $y = x$ необходимо исключить точку с абсциссой $x = 2$. Найдем ординату этой точки: $y = x = 2$.
Следовательно, точка $(2; 2)$ должна быть выколота (удалена) с графика.
Графиком уравнения является прямая $y=x$ с выколотой точкой $(2; 2)$.

Ответ: Прямая $y=x$ с выколотой точкой $(2; 2)$.

б)

Уравнение $\frac{y - x^2}{x^2 - 1} = 0$ равносильно системе:
$\begin{cases} y - x^2 = 0, \\ x^2 - 1 \neq 0. \end{cases}$
Из первого уравнения системы получаем $y = x^2$. Это уравнение параболы с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.
Из второго условия $x^2 - 1 \neq 0$ следует, что $x^2 \neq 1$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Необходимо исключить из графика параболы $y = x^2$ точки с абсциссами $1$ и $-1$.
Если $x = 1$, то $y = 1^2 = 1$. Исключаем точку $(1; 1)$.
Если $x = -1$, то $y = (-1)^2 = 1$. Исключаем точку $(-1; 1)$.
Графиком уравнения является парабола $y=x^2$ с выколотыми точками $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.

Ответ: Парабола $y=x^2$ с выколотыми точками $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.

в)

Уравнение $\frac{x^2 + y^2 - 16}{y^2 - 4} = 0$ равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 + y^2 - 16 = 0, \\ y^2 - 4 \neq 0. \end{cases}$
Из первого уравнения системы получаем $x^2 + y^2 = 16$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.
Из второго условия $y^2 - 4 \neq 0$ следует, что $y^2 \neq 4$, то есть $y \neq 2$ и $y \neq -2$.
Необходимо исключить из графика окружности точки с ординатами $2$ и $-2$.
Найдем абсциссы этих точек, подставив значения $y$ в уравнение окружности:
При $y = 2$: $x^2 + 2^2 = 16 \Rightarrow x^2 + 4 = 16 \Rightarrow x^2 = 12 \Rightarrow x = \pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}$. Исключаем точки $(2\sqrt{3}; 2)$ и $(-2\sqrt{3}; 2)$.
При $y = -2$: $x^2 + (-2)^2 = 16 \Rightarrow x^2 + 4 = 16 \Rightarrow x^2 = 12 \Rightarrow x = \pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}$. Исключаем точки $(2\sqrt{3}; -2)$ и $(-2\sqrt{3}; -2)$.
Графиком уравнения является окружность $x^2 + y^2 = 16$ с четырьмя выколотыми точками.

Ответ: Окружность $x^2 + y^2 = 16$ с выколотыми точками $(2\sqrt{3}; 2)$, $(-2\sqrt{3}; 2)$, $(2\sqrt{3}; -2)$ и $(-2\sqrt{3}; -2)$.

г)

Уравнение $\frac{x^2 + y^2 - 1}{x^2 - y^2} = 0$ равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 + y^2 - 1 = 0, \\ x^2 - y^2 \neq 0. \end{cases}$
Из первого уравнения системы получаем $x^2 + y^2 = 1$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R = \sqrt{1} = 1$.
Из второго условия $x^2 - y^2 \neq 0$ следует, что $(x-y)(x+y) \neq 0$, то есть $x \neq y$ и $x \neq -y$.
Необходимо исключить из графика окружности $x^2+y^2=1$ точки ее пересечения с прямыми $y=x$ и $y=-x$.
Найдем точки пересечения:
1) Пересечение с прямой $y=x$. Подставим в уравнение окружности: $x^2 + x^2 = 1 \Rightarrow 2x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $y=x$, точки для исключения: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
2) Пересечение с прямой $y=-x$. Подставим в уравнение окружности: $x^2 + (-x)^2 = 1 \Rightarrow 2x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$. Если $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Если $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Точки для исключения: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Графиком уравнения является окружность $x^2 + y^2 = 1$ с четырьмя выколотыми точками.

Ответ: Окружность $x^2 + y^2 = 1$ с выколотыми точками $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$, $(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

486. При каком значении a окружность (x – a)² + (y – 3)² = 16 проходит через точку:

а) A(2; 3);

б) B(7; –1);

в) C(–2; 7);

г) D(1; 5)?

Для того чтобы окружность проходила через определенную точку, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению окружности. Мы будем подставлять координаты каждой точки в уравнение $(x-a)^2 + (y-3)^2 = 16$ и решать полученное уравнение относительно переменной $a$.

а) A(2; 3)

Подставим координаты точки $A(2; 3)$ в уравнение окружности, где $x=2$ и $y=3$:

$(2 - a)^2 + (3 - 3)^2 = 16$

$(2 - a)^2 + 0^2 = 16$

$(2 - a)^2 = 16$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$2 - a = 4$ или $2 - a = -4$

Решим каждое уравнение:

1) $2 - a = 4 \implies a = 2 - 4 \implies a = -2$

2) $2 - a = -4 \implies a = 2 - (-4) \implies a = 2 + 4 \implies a = 6$

Ответ: $a = -2$ или $a = 6$.

б) B(7; –1)

Подставим координаты точки $B(7; -1)$ в уравнение окружности, где $x=7$ и $y=-1$:

$(7 - a)^2 + (-1 - 3)^2 = 16$

$(7 - a)^2 + (-4)^2 = 16$

$(7 - a)^2 + 16 = 16$

$(7 - a)^2 = 16 - 16$

$(7 - a)^2 = 0$

Извлечем квадратный корень:

$7 - a = 0$

$a = 7$

Ответ: $a = 7$.

в) C(–2; 7)

Подставим координаты точки $C(-2; 7)$ в уравнение окружности, где $x=-2$ и $y=7$:

$(-2 - a)^2 + (7 - 3)^2 = 16$

$(-2 - a)^2 + 4^2 = 16$

$(-2 - a)^2 + 16 = 16$

$(-2 - a)^2 = 0$

Извлечем квадратный корень:

$-2 - a = 0$

$a = -2$

Ответ: $a = -2$.

г) D(1; 5)

Подставим координаты точки $D(1; 5)$ в уравнение окружности, где $x=1$ и $y=5$:

$(1 - a)^2 + (5 - 3)^2 = 16$

$(1 - a)^2 + 2^2 = 16$

$(1 - a)^2 + 4 = 16$

$(1 - a)^2 = 12$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$1 - a = \sqrt{12}$ или $1 - a = -\sqrt{12}$

Упростим корень: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

Решим каждое уравнение:

1) $1 - a = 2\sqrt{3} \implies a = 1 - 2\sqrt{3}$

2) $1 - a = -2\sqrt{3} \implies a = 1 + 2\sqrt{3}$

Ответ: $a = 1 - 2\sqrt{3}$ или $a = 1 + 2\sqrt{3}$.

487. Найдите целые решения уравнения:

а) x² – y² = 5;

б) x² – y² = 8.

а) $x^2 - y^2 = 5$

Для нахождения целых решений уравнения воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Применим эту формулу к левой части уравнения:

$(x - y)(x + y) = 5$

Поскольку по условию $x$ и $y$ являются целыми числами, то их разность $(x - y)$ и их сумма $(x + y)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 5. Следовательно, нам нужно найти все пары целых чисел, произведение которых равно 5. Такими парами являются:

• $1$ и $5$
• $5$ и $1$
• $-1$ и $-5$
• $-5$ и $-1$

Рассмотрим каждый случай в виде системы двух линейных уравнений:

1. $\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 5 \end{cases}$

Сложим два уравнения: $(x - y) + (x + y) = 1 + 5$, что дает $2x = 6$, откуда $x = 3$. Подставим значение $x$ во второе уравнение: $3 + y = 5$, откуда $y = 2$. Получаем решение $(3, 2)$.

2. $\begin{cases} x - y = 5 \\ x + y = 1 \end{cases}$

Сложим уравнения: $2x = 5 + 1$, что дает $2x = 6$, откуда $x = 3$. Подставим $x$ во второе уравнение: $3 + y = 1$, откуда $y = -2$. Получаем решение $(3, -2)$.

3. $\begin{cases} x - y = -1 \\ x + y = -5 \end{cases}$

Сложим уравнения: $2x = -1 + (-5)$, что дает $2x = -6$, откуда $x = -3$. Подставим $x$ во второе уравнение: $-3 + y = -5$, откуда $y = -2$. Получаем решение $(-3, -2)$.

4. $\begin{cases} x - y = -5 \\ x + y = -1 \end{cases}$

Сложим уравнения: $2x = -5 + (-1)$, что дает $2x = -6$, откуда $x = -3$. Подставим $x$ во второе уравнение: $-3 + y = -1$, откуда $y = 2$. Получаем решение $(-3, 2)$.

Ответ: $(3, 2)$, $(3, -2)$, $(-3, -2)$, $(-3, 2)$.

б) $x^2 - y^2 = 8$

Так же, как и в предыдущем пункте, разложим левую часть на множители:

$(x - y)(x + y) = 8$

Множители $(x - y)$ и $(x + y)$ — это целые числа, которые являются делителями числа 8. Делители числа 8: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.

Заметим, что сумма этих множителей $(x-y) + (x+y) = 2x$ — четное число. Разность множителей $(x+y) - (x-y) = 2y$ — также четное число. Сумма или разность двух целых чисел является четной только в том случае, если оба числа имеют одинаковую четность (оба четные или оба нечетные).

Таким образом, нам нужно выбрать из делителей числа 8 такие пары, в которых оба числа имеют одинаковую четность. Рассмотрим пары множителей:

• $(\pm 1, \pm 8)$ — числа разной четности, не подходят.
• $(\pm 2, \pm 4)$ — числа одинаковой четности (оба четные), подходят.

Следовательно, возможны следующие системы уравнений:

1. $\begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 4 \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = 6$, откуда $x = 3$. Подставляя в первое уравнение, имеем $3 - y = 2$, откуда $y = 1$. Решение: $(3, 1)$.

2. $\begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = 2 \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = 6$, откуда $x = 3$. Подставляя, имеем $3 - y = 4$, откуда $y = -1$. Решение: $(3, -1)$.

3. $\begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = -4 \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = -6$, откуда $x = -3$. Подставляя, имеем $-3 - y = -2$, откуда $y = -1$. Решение: $(-3, -1)$.

4. $\begin{cases} x - y = -4 \\ x + y = -2 \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = -6$, откуда $x = -3$. Подставляя, имеем $-3 - y = -4$, откуда $y = 1$. Решение: $(-3, 1)$.

Ответ: $(3, 1)$, $(3, -1)$, $(-3, -1)$, $(-3, 1)$.

488. Решите графически систему уравнений:

а)

Для решения системы графически построим графики обоих уравнений в одной системе координат.

Первое уравнение: $y + x + x^2 = 0$, что эквивалентно $y = -x^2 - x$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты ее вершины: $x_v = -b/(2a) = -(-1)/(2 \cdot (-1)) = -0.5$; $y_v = -(-0.5)^2 - (-0.5) = -0.25 + 0.5 = 0.25$. Вершина находится в точке $(-0.5, 0.25)$. Парабола пересекает ось Ox в точках, где $y=0$, т.е. $-x(x+1)=0$, откуда $x=0$ и $x=-1$. Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(-1, 0)$.

Второе уравнение: $x - y = 10$, что эквивалентно $y = x - 10$. Это прямая. Для ее построения достаточно двух точек, например, $(0, -10)$ и $(10, 0)$.

Построив графики параболы и прямой, находим их точки пересечения. Решив систему уравнений, можно найти точные координаты. Подставим $y$ из второго уравнения в первое: $(x-10) + x + x^2 = 0$, что приводит к квадратному уравнению $x^2 + 2x - 10 = 0$. Его корни: $x = -1 \pm \sqrt{11}$. Соответствующие значения $y$ равны $y = x - 10 = -11 \pm \sqrt{11}$.

Ответ: $(-1 + \sqrt{11}, -11 + \sqrt{11}), (-1 - \sqrt{11}, -11 - \sqrt{11})$.

б)

Построим графики обоих уравнений.

Первое уравнение: $(x-2)^2 + y^2 = 9$. Это окружность с центром в точке $(2, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$.

Второе уравнение: $y = x^2 - 4x + 4$. Его можно записать как $y = (x-2)^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$, что совпадает с центром окружности.

Построив графики, мы видим, что парабола начинается в центре окружности и идет вверх, пересекая окружность в двух точках, симметричных относительно прямой $x=2$. Найдем координаты этих точек, подставив выражение для $y$ из второго уравнения в первое: $(x-2)^2 + ((x-2)^2)^2 = 9$. Пусть $t = (x-2)^2$, тогда $t + t^2 = 9$ или $t^2+t-9=0$. Так как $t = y \ge 0$, решением является $t = \frac{-1+\sqrt{37}}{2}$. Значит, $y = \frac{-1+\sqrt{37}}{2}$. Тогда $(x-2)^2 = \frac{-1+\sqrt{37}}{2}$, откуда $x-2 = \pm\sqrt{\frac{-1+\sqrt{37}}{2}}$, и $x=2 \pm\sqrt{\frac{-1+\sqrt{37}}{2}}$.

Ответ: $(2 + \sqrt{\frac{\sqrt{37}-1}{2}}, \frac{\sqrt{37}-1}{2}), (2 - \sqrt{\frac{\sqrt{37}-1}{2}}, \frac{\sqrt{37}-1}{2})$.

в)

Построим графики обоих уравнений.

Первое уравнение: $x^2 + y^2 = 25$. Это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение: $y = 2x^2 - 14$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина находится в точке $(0, -14)$.

Построив графики, мы увидим, что парабола и окружность пересекаются в четырех точках, симметричных относительно оси Oy. Для нахождения точных координат подставим $y$ из второго уравнения в первое: $x^2 + (2x^2-14)^2 = 25$. Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим биквадратное уравнение $4x^4 - 55x^2 + 171 = 0$. Решая его относительно $x^2$, находим $x^2=9$ и $x^2=19/4$.

Если $x^2=9$, то $x=\pm 3$, а $y=2(9)-14 = 4$. Получаем точки $(3, 4)$ и $(-3, 4)$.

Если $x^2=19/4$, то $x=\pm \frac{\sqrt{19}}{2}$, а $y=2(19/4)-14 = -9/2$. Получаем точки $(\frac{\sqrt{19}}{2}, -\frac{9}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{19}}{2}, -\frac{9}{2})$.

Ответ: $(3, 4), (-3, 4), (\frac{\sqrt{19}}{2}, -4.5), (-\frac{\sqrt{19}}{2}, -4.5)$.

г)

Построим графики обоих уравнений.

Первое уравнение: $x^2 + y^2 = 10$. Это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{10} \approx 3.16$.

Второе уравнение: $xy = 3$, или $y = 3/x$. Это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.

Построив графики, находим четыре точки пересечения. Можно заметить, что точки $(1, 3)$ и $(3, 1)$ лежат на обоих графиках: $1^2+3^2=10$, $1 \cdot 3 = 3$; $3^2+1^2=10$, $3 \cdot 1 = 3$. Аналогично для III четверти: точки $(-1, -3)$ и $(-3, -1)$ также являются решениями.

Ответ: $(1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1)$.

д)

Построим графики обоих уравнений.

Первое уравнение: $x + y = 8$, или $y = 8 - x$. Это прямая, проходящая через точки $(0, 8)$ и $(8, 0)$.

Второе уравнение: $(x+1)^2 + y^2 = 81$. Это окружность с центром в точке $(-1, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{81} = 9$.

Построив прямую и окружность, находим две точки пересечения. Подстановка $y=8-x$ во второе уравнение дает $(x+1)^2+(8-x)^2=81$, что упрощается до $x^2-7x-8=0$. Корни этого уравнения $x=8$ и $x=-1$.

Если $x=8$, то $y=8-8=0$. Точка $(8, 0)$.

Если $x=-1$, то $y=8-(-1)=9$. Точка $(-1, 9)$.

Ответ: $(8, 0), (-1, 9)$.

е)

Построим графики обоих уравнений.

Первое уравнение: $y = -x^2 + 4$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 4)$, ветвями, направленными вниз, и пересекающая ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

Второе уравнение: $y = |x|$. График этой функции состоит из двух лучей: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$. График имеет форму "галочки" с вершиной в точке $(0, 0)$.

Построив графики, видим две точки пересечения, симметричные относительно оси Oy.

Для $x \ge 0$ решаем $x = -x^2+4$, или $x^2+x-4=0$. Положительный корень $x = \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$. Тогда $y=x=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$.

Для $x < 0$ решаем $-x = -x^2+4$, или $x^2-x-4=0$. Отрицательный корень $x = \frac{1-\sqrt{17}}{2}$. Тогда $y=-x=\frac{\sqrt{17}-1}{2}$.

Ответ: $(\frac{\sqrt{17}-1}{2}, \frac{\sqrt{17}-1}{2}), (\frac{1-\sqrt{17}}{2}, \frac{\sqrt{17}-1}{2})$.

489. Изобразив схематически графики уравнений, определите, имеет ли решения система уравнений и сколько:

а)

Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases} x^2 - y + 11 = 0 \\y + x^2 = 4 \end{cases}$

Для определения числа решений изобразим схематически графики каждого уравнения. Для этого выразим $y$ в явном виде.

1. Первое уравнение: $x^2 - y + 11 = 0 \Rightarrow y = x^2 + 11$.Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 11)$. Минимальное значение функции $y$ равно 11, то есть все точки графика лежат на высоте $y \ge 11$.

2. Второе уравнение: $y + x^2 = 4 \Rightarrow y = -x^2 + 4$.Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 4)$. Максимальное значение функции $y$ равно 4, то есть все точки графика лежат на высоте $y \le 4$.

Схематически изобразив графики, мы видим, что первая парабола полностью расположена выше второй. Множество значений для первого уравнения — это $[11, +\infty)$, а для второго — $(-\infty, 4]$. Эти множества не пересекаются. Следовательно, графики не имеют общих точек, и система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

б)

Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases} (x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 1 \\(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4 \end{cases}$

Каждое уравнение системы представляет собой уравнение окружности вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $r$ — радиус.

1. Первое уравнение $(x - (-3))^2 + (y - (-4))^2 = 1^2$ — это окружность с центром в точке $C_1(-3, -4)$ и радиусом $r_1 = 1$.

2. Второе уравнение $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2^2$ — это окружность с центром в точке $C_2(2, 1)$ и радиусом $r_2 = 2$.

Решениями системы являются точки пересечения этих двух окружностей. Чтобы определить их количество, найдем расстояние $d$ между центрами $C_1$ и $C_2$ и сравним его с суммой их радиусов.

Расстояние между центрами вычисляется по формуле:$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (1 - (-4))^2} = \sqrt{(5)^2 + (5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Сумма радиусов: $r_1 + r_2 = 1 + 2 = 3$.

Сравним расстояние между центрами $d$ и сумму радиусов $r_1 + r_2$.$d = 5\sqrt{2} \approx 5 \times 1.414 = 7.07$.Так как $7.07 > 3$, расстояние между центрами больше суммы радиусов ($d > r_1 + r_2$). Это означает, что окружности расположены вне друг друга и не пересекаются.

Следовательно, система уравнений не имеет решений.

Ответ: решений нет.

в)

Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases} y = |x| \\\frac{1}{2}x^3 - y = 0\end{cases}$

Изобразим схематически графики каждого уравнения.

1. Первое уравнение $y = |x|$ — это график модуля. Он состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$.

2. Второе уравнение $\frac{1}{2}x^3 - y = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x^3$. Это график кубической функции (кубическая парабола), проходящий через начало координат и симметричный относительно него.

Решения системы — это точки пересечения этих двух графиков. Найдем их.

Очевидно, что точка $(0, 0)$ является решением, так как при подстановке $x=0, y=0$ оба уравнения обращаются в верные равенства.

Рассмотрим случай, когда $x > 0$. Система принимает вид:$\begin{cases} y = x \\y = \frac{1}{2}x^3 \end{cases}$Приравниваем правые части: $x = \frac{1}{2}x^3$.Так как $x > 0$, можем разделить обе части на $x$: $1 = \frac{1}{2}x^2 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \sqrt{2}$.Соответствующее значение $y = \sqrt{2}$. Таким образом, вторая точка пересечения — $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

Рассмотрим случай, когда $x < 0$. Система принимает вид:$\begin{cases} y = -x \\y = \frac{1}{2}x^3 \end{cases}$Приравниваем правые части: $-x = \frac{1}{2}x^3$.$\frac{1}{2}x^3 + x = 0 \Rightarrow x(\frac{1}{2}x^2 + 1) = 0$.Это уравнение имеет единственный действительный корень $x=0$, который не удовлетворяет условию $x < 0$. Выражение в скобках $\frac{1}{2}x^2 + 1$ всегда положительно. Таким образом, при $x < 0$ пересечений нет. Это также видно из графиков: для $x < 0$ график $y=-x$ лежит во второй координатной четверти ($y>0$), а график $y=\frac{1}{2}x^3$ — в третьей ($y<0$).

Итак, графики имеют две точки пересечения: $(0, 0)$ и $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$. Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.