Номер 483, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

483. Составьте уравнение, графиком которого является:

а) пара прямых y = x + 5 и y = x – 5;

б) окружность x² + y² = 4 и пара прямых y = –3 и y = 3;

в) гипербола xy = 6 и окружность x² + y² = 1.

а)

Чтобы составить одно уравнение, графиком которого является пара прямых $y = x + 5$ и $y = x - 5$, нужно сначала представить каждое уравнение в виде, где правая часть равна нулю:
$y - x - 5 = 0$
$y - x + 5 = 0$
Объединение графиков двух уравнений $F(x, y) = 0$ и $G(x, y) = 0$ задается уравнением $F(x, y) \cdot G(x, y) = 0$. Это связано с тем, что произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Применим этот принцип к нашим уравнениям:
$(y - x - 5)(y - x + 5) = 0$
Мы можем заметить, что это выражение соответствует формуле разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = y - x$ и $b = 5$.
$(y - x)^2 - 5^2 = 0$
$(y - x)^2 - 25 = 0$
Раскроем скобки для получения окончательного вида уравнения:
$y^2 - 2xy + x^2 - 25 = 0$
Или, в более привычном порядке:
$x^2 - 2xy + y^2 - 25 = 0$

Ответ: $x^2 - 2xy + y^2 - 25 = 0$.

б)

Требуется составить уравнение, описывающее объединение окружности $x^2 + y^2 = 4$ и пары прямых $y = -3$ и $y = 3$.
Сначала запишем все компоненты в виде уравнений с нулем в правой части.
Уравнение окружности: $x^2 + y^2 - 4 = 0$.
Для пары прямых $y = -3$ и $y = 3$ сначала составим общее уравнение.
$y + 3 = 0$ и $y - 3 = 0$.
Перемножив левые части, получим уравнение для пары прямых:
$(y + 3)(y - 3) = 0$
$y^2 - 9 = 0$
Теперь, чтобы объединить график окружности и график пары прямых, перемножим левые части их уравнений:
$(x^2 + y^2 - 4)(y^2 - 9) = 0$
Это уравнение является искомым. Точка $(x, y)$ будет принадлежать графику, если ее координаты удовлетворяют либо уравнению окружности ($x^2 + y^2 - 4 = 0$), либо уравнению пары прямых ($y^2 - 9 = 0$).

Ответ: $(x^2 + y^2 - 4)(y^2 - 9) = 0$.

в)

Графиком искомого уравнения является объединение гиперболы $xy = 6$ и окружности $x^2 + y^2 = 1$.
Представим уравнения этих фигур в виде $F(x, y) = 0$:
Уравнение гиперболы: $xy - 6 = 0$.
Уравнение окружности: $x^2 + y^2 - 1 = 0$.
Используя тот же принцип, что и в предыдущих пунктах, перемножим левые части уравнений, чтобы получить уравнение, описывающее их объединение:
$(xy - 6)(x^2 + y^2 - 1) = 0$
Данное уравнение выполняется, если точка $(x, y)$ принадлежит либо гиперболе ($xy - 6 = 0$), либо окружности ($x^2 + y^2 - 1 = 0$).

Ответ: $(xy - 6)(x^2 + y^2 - 1) = 0$.