Номер 476, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

476. Найдите все решения системы уравнений:

а) $$\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12} \\ x^2 - y^2 = 7 \end{cases}$$

Обозначим в первом уравнении $\frac{x}{y} = t$. Тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{t}$. Первое уравнение системы примет вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{25}{12}$

Умножим обе части уравнения на $12t$ (при условии, что $t \neq 0$, что следует из условия $x, y \neq 0$):

$12t^2 + 12 = 25t$

$12t^2 - 25t + 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-25)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 12 = 625 - 576 = 49 = 7^2$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{25 - 7}{2 \cdot 12} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$

$t_2 = \frac{25 + 7}{2 \cdot 12} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}$

Теперь вернемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = \frac{3}{4}$

Отсюда $x = \frac{3}{4}y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(\frac{3}{4}y)^2 - y^2 = 7$

$\frac{9}{16}y^2 - y^2 = 7$

$\frac{9y^2 - 16y^2}{16} = 7$

$-\frac{7}{16}y^2 = 7$

$y^2 = -16$

Это уравнение не имеет действительных решений.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{4}{3}$

Отсюда $x = \frac{4}{3}y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(\frac{4}{3}y)^2 - y^2 = 7$

$\frac{16}{9}y^2 - y^2 = 7$

$\frac{16y^2 - 9y^2}{9} = 7$

$\frac{7}{9}y^2 = 7$

$y^2 = 9$

Отсюда $y_1 = 3$ и $y_2 = -3$.

Если $y_1 = 3$, то $x_1 = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4$. Получаем решение $(4, 3)$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = \frac{4}{3} \cdot (-3) = -4$. Получаем решение $(-4, -3)$.

Ответ: $(4, 3), (-4, -3)$.

б) $$\begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = 2,1 \\ x^2 + y^2 = 29 \end{cases}$$

Заметим, что $2,1 = \frac{21}{10}$. Как и в предыдущем пункте, введем замену $\frac{x}{y} = t$. Тогда первое уравнение примет вид:

$t - \frac{1}{t} = \frac{21}{10}$

Умножим обе части уравнения на $10t$ (при $t \neq 0$):

$10t^2 - 10 = 21t$

$10t^2 - 21t - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = (-21)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-10) = 441 + 400 = 841 = 29^2$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{21 - 29}{2 \cdot 10} = \frac{-8}{20} = -\frac{2}{5}$

$t_2 = \frac{21 + 29}{2 \cdot 10} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = -\frac{2}{5}$

Отсюда $x = -\frac{2}{5}y$. Подставим во второе уравнение системы:

$(-\frac{2}{5}y)^2 + y^2 = 29$

$\frac{4}{25}y^2 + y^2 = 29$

$\frac{4y^2 + 25y^2}{25} = 29$

$\frac{29}{25}y^2 = 29$

$y^2 = 25$

Отсюда $y_1 = 5$ и $y_2 = -5$.

Если $y_1 = 5$, то $x_1 = -\frac{2}{5} \cdot 5 = -2$. Получаем решение $(-2, 5)$.

Если $y_2 = -5$, то $x_2 = -\frac{2}{5} \cdot (-5) = 2$. Получаем решение $(2, -5)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{5}{2}$

Отсюда $x = \frac{5}{2}y$. Подставим во второе уравнение системы:

$(\frac{5}{2}y)^2 + y^2 = 29$

$\frac{25}{4}y^2 + y^2 = 29$

$\frac{25y^2 + 4y^2}{4} = 29$

$\frac{29}{4}y^2 = 29$

$y^2 = 4$

Отсюда $y_3 = 2$ и $y_4 = -2$.

Если $y_3 = 2$, то $x_3 = \frac{5}{2} \cdot 2 = 5$. Получаем решение $(5, 2)$.

Если $y_4 = -2$, то $x_4 = \frac{5}{2} \cdot (-2) = -5$. Получаем решение $(-5, -2)$.

Ответ: $(-2, 5), (2, -5), (5, 2), (-5, -2)$.