Номер 478, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 478, страница 143.

Условие.

478. Решите систему уравнений:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = 12; \end{cases} $

Эта система является симметрической. Для её решения удобно использовать формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.

Подставим в эту формулу значения из уравнений системы:

$(x+y)^2 = 25 + 2 \cdot 12$

$(x+y)^2 = 25 + 24$

$(x+y)^2 = 49$

Из этого уравнения находим два возможных значения для суммы $x+y$:

$x+y = 7$ или $x+y = -7$.

Теперь задача сводится к решению двух более простых систем уравнений.

Случай 1: $x+y = 7$ и $xy = 12$.

Получаем систему:

$ \begin{cases} x+y = 7, \\ xy = 12. \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 7t + 12 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3$ и $t_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Следовательно, решениями в этом случае являются пары $(3, 4)$ и $(4, 3)$.

Случай 2: $x+y = -7$ и $xy = 12$.

Получаем систему:

$ \begin{cases} x+y = -7, \\ xy = 12. \end{cases} $

Аналогично, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-7)t + 12 = 0$, то есть $t^2 + 7t + 12 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ и $t_2 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Следовательно, решениями в этом случае являются пары $(-4, -3)$ и $(-3, -4)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный набор решений исходной системы.

Ответ: $(3, 4), (4, 3), (-4, -3), (-3, -4)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 26, \\ x+y = 6. \end{cases} $

Для решения этой системы также воспользуемся тождеством $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.

Подставим в него известные значения из системы:

$6^2 = 26 + 2xy$

$36 = 26 + 2xy$

Выразим $2xy$:

$2xy = 36 - 26$

$2xy = 10$

$xy = 5$

Теперь мы можем составить новую систему, эквивалентную исходной:

$ \begin{cases} x+y = 6, \\ xy = 5. \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$.

Решим это уравнение. Корни легко находятся подбором: их сумма равна 6, а произведение равно 5. Это числа 1 и 5. Также можно найти их через дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1$ и $t_2 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5$.

Следовательно, решениями системы являются пары чисел, где одна переменная равна 1, а другая 5.

Ответ: $(1, 5), (5, 1)$.