Номер 485, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 4. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 485, страница 144.

Условие.

485. Постройте график уравнения:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Поэтому уравнение $\frac{y - x}{x - 2} = 0$ равносильно системе:
$\begin{cases} y - x = 0, \\ x - 2 \neq 0. \end{cases}$
Из первого уравнения системы получаем $y = x$. Это уравнение прямой, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.
Из второго условия $x - 2 \neq 0$ следует, что $x \neq 2$.
Таким образом, из графика прямой $y = x$ необходимо исключить точку с абсциссой $x = 2$. Найдем ординату этой точки: $y = x = 2$.
Следовательно, точка $(2; 2)$ должна быть выколота (удалена) с графика.
Графиком уравнения является прямая $y=x$ с выколотой точкой $(2; 2)$.

Ответ: Прямая $y=x$ с выколотой точкой $(2; 2)$.

б)

Уравнение $\frac{y - x^2}{x^2 - 1} = 0$ равносильно системе:
$\begin{cases} y - x^2 = 0, \\ x^2 - 1 \neq 0. \end{cases}$
Из первого уравнения системы получаем $y = x^2$. Это уравнение параболы с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.
Из второго условия $x^2 - 1 \neq 0$ следует, что $x^2 \neq 1$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Необходимо исключить из графика параболы $y = x^2$ точки с абсциссами $1$ и $-1$.
Если $x = 1$, то $y = 1^2 = 1$. Исключаем точку $(1; 1)$.
Если $x = -1$, то $y = (-1)^2 = 1$. Исключаем точку $(-1; 1)$.
Графиком уравнения является парабола $y=x^2$ с выколотыми точками $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.

Ответ: Парабола $y=x^2$ с выколотыми точками $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.

в)

Уравнение $\frac{x^2 + y^2 - 16}{y^2 - 4} = 0$ равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 + y^2 - 16 = 0, \\ y^2 - 4 \neq 0. \end{cases}$
Из первого уравнения системы получаем $x^2 + y^2 = 16$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.
Из второго условия $y^2 - 4 \neq 0$ следует, что $y^2 \neq 4$, то есть $y \neq 2$ и $y \neq -2$.
Необходимо исключить из графика окружности точки с ординатами $2$ и $-2$.
Найдем абсциссы этих точек, подставив значения $y$ в уравнение окружности:
При $y = 2$: $x^2 + 2^2 = 16 \Rightarrow x^2 + 4 = 16 \Rightarrow x^2 = 12 \Rightarrow x = \pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}$. Исключаем точки $(2\sqrt{3}; 2)$ и $(-2\sqrt{3}; 2)$.
При $y = -2$: $x^2 + (-2)^2 = 16 \Rightarrow x^2 + 4 = 16 \Rightarrow x^2 = 12 \Rightarrow x = \pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}$. Исключаем точки $(2\sqrt{3}; -2)$ и $(-2\sqrt{3}; -2)$.
Графиком уравнения является окружность $x^2 + y^2 = 16$ с четырьмя выколотыми точками.

Ответ: Окружность $x^2 + y^2 = 16$ с выколотыми точками $(2\sqrt{3}; 2)$, $(-2\sqrt{3}; 2)$, $(2\sqrt{3}; -2)$ и $(-2\sqrt{3}; -2)$.

г)

Уравнение $\frac{x^2 + y^2 - 1}{x^2 - y^2} = 0$ равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 + y^2 - 1 = 0, \\ x^2 - y^2 \neq 0. \end{cases}$
Из первого уравнения системы получаем $x^2 + y^2 = 1$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R = \sqrt{1} = 1$.
Из второго условия $x^2 - y^2 \neq 0$ следует, что $(x-y)(x+y) \neq 0$, то есть $x \neq y$ и $x \neq -y$.
Необходимо исключить из графика окружности $x^2+y^2=1$ точки ее пересечения с прямыми $y=x$ и $y=-x$.
Найдем точки пересечения:
1) Пересечение с прямой $y=x$. Подставим в уравнение окружности: $x^2 + x^2 = 1 \Rightarrow 2x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $y=x$, точки для исключения: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
2) Пересечение с прямой $y=-x$. Подставим в уравнение окружности: $x^2 + (-x)^2 = 1 \Rightarrow 2x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$. Если $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Если $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Точки для исключения: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Графиком уравнения является окружность $x^2 + y^2 = 1$ с четырьмя выколотыми точками.

Ответ: Окружность $x^2 + y^2 = 1$ с выколотыми точками $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$, $(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.