Номер 490, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

490. Сколько решений может иметь система уравнений где r — положительное число?

Для ответа на вопрос проанализируем систему уравнений. Количество решений системы соответствует количеству точек пересечения графиков двух уравнений:

1. $x^2 + y^2 = r^2$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r$. Так как $r$ — положительное число, это всегда окружность.
2. $y = -x^2 + 4$ — это уравнение параболы с вершиной в точке $(0, 4)$ и ветвями, направленными вниз.

Чтобы найти точки пересечения, решим систему аналитически. Из второго уравнения выразим $x^2$: $x^2 = 4 - y$. Для существования действительных решений для $x$ необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной, то есть $4 - y \ge 0$, что равносильно $y \le 4$.

Подставим выражение для $x^2$ в первое уравнение:

$(4 - y) + y^2 = r^2$

Перепишем его в стандартном виде квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 - y + (4 - r^2) = 0$

Количество решений исходной системы зависит от количества корней этого квадратного уравнения, удовлетворяющих условию $y \le 4$. Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4 - r^2) = 1 - 16 + 4r^2 = 4r^2 - 15$

Рассмотрим все возможные случаи в зависимости от значения параметра $r$.

1. Случай, когда решений нет (0 решений)

Если дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение для $y$ не имеет действительных корней. Следовательно, и исходная система не имеет решений.$4r^2 - 15 < 0 \implies 4r^2 < 15 \implies r^2 < \frac{15}{4}$.Поскольку $r > 0$, это означает, что при $0 < r < \frac{\sqrt{15}}{2}$ система не имеет решений. Графически это соответствует случаю, когда окружность слишком мала и не пересекает параболу. Таким образом, система может иметь 0 решений.

2. Случай, когда есть 2 решения

Система может иметь два решения в двух различных ситуациях.

• При $D = 0$, то есть при $r = \frac{\sqrt{15}}{2}$. В этом случае уравнение для $y$ имеет один корень: $y = \frac{-(-1)}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$. Это значение удовлетворяет условию $y \le 4$. Найдем $x$: $x^2 = 4 - y = 4 - \frac{1}{2} = 3.5$. Так как $x^2 > 0$, получаем два значения $x = \pm\sqrt{3.5}$. Итого 2 решения. Графически это касание окружности и параболы в двух точках.
• При $r > 4$. В этом случае $D = 4r^2 - 15 > 4 \cdot 4^2 - 15 = 49 > 0$. Корни для $y$: $y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{4r^2 - 15}}{2}$. Корень $y_2 = \frac{1 + \sqrt{4r^2 - 15}}{2}$ будет больше 4 (т.к. $\sqrt{4r^2-15} > 7$), поэтому для него $x^2 = 4 - y_2 < 0$, что не дает действительных решений. Корень $y_1 = \frac{1 - \sqrt{4r^2 - 15}}{2}$ будет меньше 4, и для него $x^2 = 4 - y_1 > 0$, что дает два действительных значения $x$. Итого 2 решения. Графически это большая окружность, пересекающая только нижние ветви параболы.

3. Случай, когда есть 3 решения

Это возможно, когда один корень для $y$ дает одно значение $x$ (то есть $x=0$), а второй корень для $y$ дает два значения $x$. Значение $x=0$ соответствует вершине параболы $(0, 4)$, то есть $y=4$. Подставим $y=4$ в наше квадратное уравнение, чтобы найти соответствующее значение $r$:$4^2 - 4 + (4 - r^2) = 0 \implies 16 - r^2 = 0 \implies r = 4$.При $r=4$ уравнение для $y$ принимает вид $y^2 - y - 12 = 0$. Его корни $y_1 = -3$ и $y_2 = 4$.

• Для $y_2=4$ получаем $x^2 = 4-4=0 \implies x=0$ (одно решение).
• Для $y_1=-3$ получаем $x^2 = 4-(-3)=7 \implies x=\pm\sqrt{7}$ (два решения).

Всего $1+2=3$ решения. Таким образом, система может иметь 3 решения. Это соответствует касанию окружности и вершины параболы.

4. Случай, когда есть 4 решения

Четыре решения система имеет, когда $D > 0$ и оба корня $y_1, y_2$ удовлетворяют условию $y < 4$.Условие $D > 0$ дает $r > \frac{\sqrt{15}}{2}$.Условие $y_2 < 4$ дает $r < 4$.Следовательно, при $\frac{\sqrt{15}}{2} < r < 4$ оба корня для $y$ действительны, различны и строго меньше 4. Для каждого из них $x^2 = 4-y > 0$, что дает по два различных значения $x$. В итоге получаем $2+2=4$ решения. Таким образом, система может иметь 4 решения.

Суммируя все случаи, мы видим, что количество решений системы может быть 0, 2, 3 или 4 в зависимости от значения положительного параметра $r$.

Ответ: Система уравнений может иметь 0, 2, 3 или 4 решения.